Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57177 / 17663
↖ ↑ ↗
← N 78.491100°
W 22.958679°		 ← 60.93 m → N 78.491100°
W 22.955933°		 →
↑
60.91 m
↓
↑
60.91 m
↓
N 78.490552°
W 22.958679°		 ← 60.93 m →
3 711 m²		 N 78.490552°
W 22.955933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436229705810547 y=0.134761810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436229705810547 × 217)
    floor (0.436229705810547 × 131072)
    floor (57177.5)     		tx = 57177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134761810302734 × 217)
    floor (0.134761810302734 × 131072)
    floor (17663.5)     		ty = 17663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57177 / 17663 ti = "17/57177/17663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57177/17663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57177 ÷ 217
    57177 ÷ 131072     		x = 0.436225891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17663 ÷ 217
    17663 ÷ 131072     		y = 0.134757995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436225891113281 × 2 - 1) × π
    -0.127548217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40070454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134757995605469 × 2 - 1) × π
    0.730484008789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.29488319551095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40070454} λ = -0.40070454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29488319551095))-π/2
    2×atan(9.92327686130615)-π/2
    2×1.47036222479285-π/2
    2.9407244495857-1.57079632675     		φ = 1.36992812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40070454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.958679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36992812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.491100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57177 KachelY 17663 -0.40070454 1.36992812 -22.958679 78.491100
    Oben rechts KachelX + 1 57178 KachelY 17663 -0.40065661 1.36992812 -22.955933 78.491100
    Unten links KachelX 57177 KachelY + 1 17664 -0.40070454 1.36991856 -22.958679 78.490552
    Unten rechts KachelX + 1 57178 KachelY + 1 17664 -0.40065661 1.36991856 -22.955933 78.490552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36992812-1.36991856) × R
    9.56000000007506e-06 × 6371000     		dl = 60.9067600004782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36992812-1.36991856) × R
    9.56000000007506e-06 × 6371000     		dr = 60.9067600004782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40070454--0.40065661) × cos(1.36992812) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.199520156273714 × 6371000     		do = 60.9258799456252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40070454--0.40065661) × cos(1.36991856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.199529524048583 × 6371000     		du = 60.9287405083757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36992812)-sin(1.36991856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199520156273714-0.199529524048583)×R²
    abs(-0.40065661--0.40070454)×9.36777486884588e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.36777486884588e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.36777486884588e-06×40589641000000     		ar = 3710.8850612874m²