Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57176 / 8995
↖ ↑ ↗
← N 78.310521°
E134.077148°		 ← 123.76 m → N 78.310521°
E134.082642°		 →
↑
123.72 m
↓
↑
123.72 m
↓
N 78.309408°
E134.077148°		 ← 123.77 m →
15 313 m²		 N 78.309408°
E134.082642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872444152832031 y=0.137260437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872444152832031 × 216)
    floor (0.872444152832031 × 65536)
    floor (57176.5)     		tx = 57176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137260437011719 × 216)
    floor (0.137260437011719 × 65536)
    floor (8995.5)     		ty = 8995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57176 / 8995 ti = "16/57176/8995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57176/8995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57176 ÷ 216
    57176 ÷ 65536     		x = 0.8724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8995 ÷ 216
    8995 ÷ 65536     		y = 0.137252807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8724365234375 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34008769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137252807617188 × 2 - 1) × π
    0.725494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27920782933519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34008769} λ = 2.34008769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27920782933519))-π/2
    2×atan(9.76893867690084)-π/2
    2×1.46878637998158-π/2
    2.93757275996316-1.57079632675     		φ = 1.36677643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34008769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.077148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36677643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.310521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57176 KachelY 8995 2.34008769 1.36677643 134.077148 78.310521
    Oben rechts KachelX + 1 57177 KachelY 8995 2.34018357 1.36677643 134.082642 78.310521
    Unten links KachelX 57176 KachelY + 1 8996 2.34008769 1.36675701 134.077148 78.309408
    Unten rechts KachelX + 1 57177 KachelY + 1 8996 2.34018357 1.36675701 134.082642 78.309408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36677643-1.36675701) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dl = 123.724820000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36677643-1.36675701) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dr = 123.724820000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34008769-2.34018357) × cos(1.36677643) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.202607481475956 × 6371000     		do = 123.763079919152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34008769-2.34018357) × cos(1.36675701) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.202626498667552 × 6371000     		du = 123.774696598785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36677643)-sin(1.36675701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202607481475956-0.202626498667552)×R²
    abs(2.34018357-2.34008769)×1.90171915969706e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.90171915969706e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.90171915969706e-05×40589641000000     		ar = 15313.2834221757m²