Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57175 / 9031
↖ ↑ ↗
← N 78.270387°
E134.071655°		 ← 124.17 m → N 78.270387°
E134.077148°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
N 78.269270°
E134.071655°		 ← 124.18 m →
15 419 m²		 N 78.269270°
E134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872428894042969 y=0.137809753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872428894042969 × 216)
    floor (0.872428894042969 × 65536)
    floor (57175.5)     		tx = 57175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137809753417969 × 216)
    floor (0.137809753417969 × 65536)
    floor (9031.5)     		ty = 9031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57175 / 9031 ti = "16/57175/9031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57175/9031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57175 ÷ 216
    57175 ÷ 65536     		x = 0.872421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9031 ÷ 216
    9031 ÷ 65536     		y = 0.137802124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872421264648438 × 2 - 1) × π
    0.744842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33999182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137802124023438 × 2 - 1) × π
    0.724395751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27575637256255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33999182} λ = 2.33999182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27575637256255))-π/2
    2×atan(9.73527972696194)-π/2
    2×1.46843614298846-π/2
    2.93687228597691-1.57079632675     		φ = 1.36607596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33999182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36607596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.270387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57175 KachelY 9031 2.33999182 1.36607596 134.071655 78.270387
    Oben rechts KachelX + 1 57176 KachelY 9031 2.34008769 1.36607596 134.077148 78.270387
    Unten links KachelX 57175 KachelY + 1 9032 2.33999182 1.36605647 134.071655 78.269270
    Unten rechts KachelX + 1 57176 KachelY + 1 9032 2.34008769 1.36605647 134.077148 78.269270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36607596-1.36605647) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dl = 124.170790000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36607596-1.36605647) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dr = 124.170790000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33999182-2.34008769) × cos(1.36607596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203293373988314 × 6371000     		do = 124.169106554095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33999182-2.34008769) × cos(1.36605647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203312456956995 × 6371000     		du = 124.180762197981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36607596)-sin(1.36605647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203293373988314-0.203312456956995)×R²
    abs(2.34008769-2.33999182)×1.90829686810279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90829686810279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90829686810279e-05×40589641000000     		ar = 15418.8997002817m²