Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57172 / 38377
↖ ↑ ↗
← N 59.566332°
W 22.972412°		 ← 154.71 m → N 59.566332°
W 22.969665°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
N 59.564941°
W 22.972412°		 ← 154.72 m →
23 932 m²		 N 59.564941°
W 22.969665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436191558837891 y=0.292797088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436191558837891 × 217)
    floor (0.436191558837891 × 131072)
    floor (57172.5)     		tx = 57172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292797088623047 × 217)
    floor (0.292797088623047 × 131072)
    floor (38377.5)     		ty = 38377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57172 / 38377 ti = "17/57172/38377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57172/38377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57172 ÷ 217
    57172 ÷ 131072     		x = 0.436187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38377 ÷ 217
    38377 ÷ 131072     		y = 0.292793273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40094423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292793273925781 × 2 - 1) × π
    0.414413452148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.3019182567811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40094423} λ = -0.40094423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3019182567811))-π/2
    2×atan(3.67634207612469)-π/2
    2×1.30521247245348-π/2
    2.61042494490696-1.57079632675     		φ = 1.03962862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40094423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03962862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.566332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57172 KachelY 38377 -0.40094423 1.03962862 -22.972412 59.566332
    Oben rechts KachelX + 1 57173 KachelY 38377 -0.40089629 1.03962862 -22.969665 59.566332
    Unten links KachelX 57172 KachelY + 1 38378 -0.40094423 1.03960434 -22.972412 59.564941
    Unten rechts KachelX + 1 57173 KachelY + 1 38378 -0.40089629 1.03960434 -22.969665 59.564941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03962862-1.03960434) × R
    2.42800000000987e-05 × 6371000     		dl = 154.687880000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03962862-1.03960434) × R
    2.42800000000987e-05 × 6371000     		dr = 154.687880000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40094423--0.40089629) × cos(1.03962862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.506540501997595 × 6371000     		do = 154.710507662665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40094423--0.40089629) × cos(1.03960434) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.506561436456838 × 6371000     		du = 154.71690158537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03962862)-sin(1.03960434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506540501997595-0.506561436456838)×R²
    abs(-0.40089629--0.40094423)×2.09344592422278e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09344592422278e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09344592422278e-05×40589641000000     		ar = 23932.3349765783m²