Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57172 / 29996
↖ ↑ ↗
← N 69.368703°
W 22.972412°		 ← 107.62 m → N 69.368703°
W 22.969665°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 69.367735°
W 22.972412°		 ← 107.62 m →
11 581 m²		 N 69.367735°
W 22.969665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436191558837891 y=0.228855133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436191558837891 × 217)
    floor (0.436191558837891 × 131072)
    floor (57172.5)     		tx = 57172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228855133056641 × 217)
    floor (0.228855133056641 × 131072)
    floor (29996.5)     		ty = 29996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57172 / 29996 ti = "17/57172/29996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57172/29996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57172 ÷ 217
    57172 ÷ 131072     		x = 0.436187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29996 ÷ 217
    29996 ÷ 131072     		y = 0.228851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40094423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228851318359375 × 2 - 1) × π
    0.54229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7036774124968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40094423} λ = -0.40094423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7036774124968))-π/2
    2×atan(5.49411441277279)-π/2
    2×1.39075429291783-π/2
    2.78150858583566-1.57079632675     		φ = 1.21071226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40094423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21071226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.368703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57172 KachelY 29996 -0.40094423 1.21071226 -22.972412 69.368703
    Oben rechts KachelX + 1 57173 KachelY 29996 -0.40089629 1.21071226 -22.969665 69.368703
    Unten links KachelX 57172 KachelY + 1 29997 -0.40094423 1.21069537 -22.972412 69.367735
    Unten rechts KachelX + 1 57173 KachelY + 1 29997 -0.40089629 1.21069537 -22.969665 69.367735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21071226-1.21069537) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dl = 107.606189999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21071226-1.21069537) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dr = 107.606189999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40094423--0.40089629) × cos(1.21071226) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352352909876517 × 6371000     		do = 107.617648240243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40094423--0.40089629) × cos(1.21069537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352368716623364 × 6371000     		du = 107.622476027595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21071226)-sin(1.21069537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352352909876517-0.352368716623364)×R²
    abs(-0.40089629--0.40094423)×1.58067468470358e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58067468470358e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58067468470358e-05×40589641000000     		ar = 11580.5848540998m²