Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57171 / 43855
↖ ↑ ↗
← N 51.043121°
W 22.975159°		 ← 192.03 m → N 51.043121°
W 22.972412°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
N 51.041394°
W 22.975159°		 ← 192.04 m →
36 875 m²		 N 51.041394°
W 22.972412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436183929443359 y=0.334590911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436183929443359 × 217)
    floor (0.436183929443359 × 131072)
    floor (57171.5)     		tx = 57171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334590911865234 × 217)
    floor (0.334590911865234 × 131072)
    floor (43855.5)     		ty = 43855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57171 / 43855 ti = "17/57171/43855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57171/43855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57171 ÷ 217
    57171 ÷ 131072     		x = 0.436180114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43855 ÷ 217
    43855 ÷ 131072     		y = 0.334587097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436180114746094 × 2 - 1) × π
    -0.127639770507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40099217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334587097167969 × 2 - 1) × π
    0.330825805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03931992066244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40099217} λ = -0.40099217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03931992066244))-π/2
    2×atan(2.82729357643794)-π/2
    2×1.23083342264508-π/2
    2.46166684529016-1.57079632675     		φ = 0.89087052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40099217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.975159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89087052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.043121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57171 KachelY 43855 -0.40099217 0.89087052 -22.975159 51.043121
    Oben rechts KachelX + 1 57172 KachelY 43855 -0.40094423 0.89087052 -22.972412 51.043121
    Unten links KachelX 57171 KachelY + 1 43856 -0.40099217 0.89084038 -22.975159 51.041394
    Unten rechts KachelX + 1 57172 KachelY + 1 43856 -0.40094423 0.89084038 -22.972412 51.041394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89087052-0.89084038) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89087052-0.89084038) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40099217--0.40094423) × cos(0.89087052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628735331675679 × 6371000     		do = 192.031953941064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40099217--0.40094423) × cos(0.89084038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628758768837873 × 6371000     		du = 192.03911225367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89087052)-sin(0.89084038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628735331675679-0.628758768837873)×R²
    abs(-0.40094423--0.40099217)×2.34371621936624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34371621936624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34371621936624e-05×40589641000000     		ar = 36875.0356171959m²