Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57170 / 9041
↖ ↑ ↗
← N 78.259214°
E134.044190°		 ← 124.29 m → N 78.259214°
E134.049682°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
N 78.258096°
E134.044190°		 ← 124.30 m →
15 449 m²		 N 78.258096°
E134.049682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872352600097656 y=0.137962341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872352600097656 × 216)
    floor (0.872352600097656 × 65536)
    floor (57170.5)     		tx = 57170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137962341308594 × 216)
    floor (0.137962341308594 × 65536)
    floor (9041.5)     		ty = 9041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57170 / 9041 ti = "16/57170/9041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57170/9041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57170 ÷ 216
    57170 ÷ 65536     		x = 0.872344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9041 ÷ 216
    9041 ÷ 65536     		y = 0.137954711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872344970703125 × 2 - 1) × π
    0.74468994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33951245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137954711914062 × 2 - 1) × π
    0.724090576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27479763457014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33951245} λ = 2.33951245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27479763457014))-π/2
    2×atan(9.72595061722161)-π/2
    2×1.46833864469355-π/2
    2.9366772893871-1.57079632675     		φ = 1.36588096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33951245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.044190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36588096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.259214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57170 KachelY 9041 2.33951245 1.36588096 134.044190 78.259214
    Oben rechts KachelX + 1 57171 KachelY 9041 2.33960832 1.36588096 134.049682 78.259214
    Unten links KachelX 57170 KachelY + 1 9042 2.33951245 1.36586145 134.044190 78.258096
    Unten rechts KachelX + 1 57171 KachelY + 1 9042 2.33960832 1.36586145 134.049682 78.258096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36588096-1.36586145) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36588096-1.36586145) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33951245-2.33960832) × cos(1.36588096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203484298106712 × 6371000     		do = 124.285720670611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33951245-2.33960832) × cos(1.36586145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203503399883852 × 6371000     		du = 124.297387802474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36588096)-sin(1.36586145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203484298106712-0.203503399883852)×R²
    abs(2.33960832-2.33951245)×1.91017771400404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91017771400404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91017771400404e-05×40589641000000     		ar = 15449.21771005m²