Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57170 / 17777
↖ ↑ ↗
← N 78.428460°
W 22.977905°		 ← 61.25 m → N 78.428460°
W 22.975159°		 →
↑
61.29 m
↓
↑
61.29 m
↓
N 78.427909°
W 22.977905°		 ← 61.26 m →
3 754 m²		 N 78.427909°
W 22.975159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436176300048828 y=0.135631561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436176300048828 × 217)
    floor (0.436176300048828 × 131072)
    floor (57170.5)     		tx = 57170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135631561279297 × 217)
    floor (0.135631561279297 × 131072)
    floor (17777.5)     		ty = 17777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57170 / 17777 ti = "17/57170/17777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57170/17777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57170 ÷ 217
    57170 ÷ 131072     		x = 0.436172485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17777 ÷ 217
    17777 ÷ 131072     		y = 0.135627746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436172485351562 × 2 - 1) × π
    -0.127655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40104010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135627746582031 × 2 - 1) × π
    0.728744506835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28941838895426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40104010} λ = -0.40104010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28941838895426))-π/2
    2×atan(9.86919597822262)-π/2
    2×1.46981559309878-π/2
    2.93963118619756-1.57079632675     		φ = 1.36883486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40104010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.977905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36883486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.428460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57170 KachelY 17777 -0.40104010 1.36883486 -22.977905 78.428460
    Oben rechts KachelX + 1 57171 KachelY 17777 -0.40099217 1.36883486 -22.975159 78.428460
    Unten links KachelX 57170 KachelY + 1 17778 -0.40104010 1.36882524 -22.977905 78.427909
    Unten rechts KachelX + 1 57171 KachelY + 1 17778 -0.40099217 1.36882524 -22.975159 78.427909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36883486-1.36882524) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dl = 61.2890199995697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36883486-1.36882524) × R
    9.61999999993246e-06 × 6371000     		dr = 61.2890199995697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40104010--0.40099217) × cos(1.36883486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200591315436314 × 6371000     		do = 61.2529712820407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40104010--0.40099217) × cos(1.36882524) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200600739900623 × 6371000     		du = 61.2558491555938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36883486)-sin(1.36882524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200591315436314-0.200600739900623)×R²
    abs(-0.40099217--0.40104010)×9.42446430904353e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.42446430904353e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.42446430904353e-06×40589641000000     		ar = 3754.22277284999m²