Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57169 / 80970
↖ ↑ ↗
← S 38.980763°
W 22.980652°		 ← 237.42 m → S 38.980763°
W 22.977905°		 →
↑
237.38 m
↓
↑
237.38 m
↓
S 38.982898°
W 22.980652°		 ← 237.42 m →
56 360 m²		 S 38.982898°
W 22.977905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436168670654297 y=0.617755889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436168670654297 × 217)
    floor (0.436168670654297 × 131072)
    floor (57169.5)     		tx = 57169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617755889892578 × 217)
    floor (0.617755889892578 × 131072)
    floor (80970.5)     		ty = 80970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57169 / 80970 ti = "17/57169/80970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57169/80970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57169 ÷ 217
    57169 ÷ 131072     		x = 0.436164855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80970 ÷ 217
    80970 ÷ 131072     		y = 0.617752075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436164855957031 × 2 - 1) × π
    -0.127670288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40108804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.235504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.739858108735947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40108804} λ = -0.40108804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739858108735947))-π/2
    2×atan(0.477181618620731)-π/2
    2×0.445226835811496-π/2
    0.890453671622992-1.57079632675     		φ = -0.68034266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40108804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68034266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.980763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57169 KachelY 80970 -0.40108804 -0.68034266 -22.980652 -38.980763
    Oben rechts KachelX + 1 57170 KachelY 80970 -0.40104010 -0.68034266 -22.977905 -38.980763
    Unten links KachelX 57169 KachelY + 1 80971 -0.40108804 -0.68037992 -22.980652 -38.982898
    Unten rechts KachelX + 1 57170 KachelY + 1 80971 -0.40104010 -0.68037992 -22.977905 -38.982898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68034266--0.68037992) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dl = 237.383460000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68034266--0.68037992) × R
    3.72600000000389e-05 × 6371000     		dr = 237.383460000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40108804--0.40104010) × cos(-0.68034266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777357210887844 × 6371000     		do = 237.4249013796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40108804--0.40104010) × cos(-0.68037992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777333771593876 × 6371000     		du = 237.417742415895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68034266)-sin(-0.68037992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777357210887844-0.777333771593876)×R²
    abs(-0.40104010--0.40108804)×2.34392939679751e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34392939679751e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34392939679751e-05×40589641000000     		ar = 56359.8948763996m²