Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57169 / 17705
↖ ↑ ↗
← N 78.468061°
W 22.980652°		 ← 61.06 m → N 78.468061°
W 22.977905°		 →
↑
61.03 m
↓
↑
61.03 m
↓
N 78.467512°
W 22.980652°		 ← 61.06 m →
3 727 m²		 N 78.467512°
W 22.977905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436168670654297 y=0.135082244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436168670654297 × 217)
    floor (0.436168670654297 × 131072)
    floor (57169.5)     		tx = 57169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135082244873047 × 217)
    floor (0.135082244873047 × 131072)
    floor (17705.5)     		ty = 17705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57169 / 17705 ti = "17/57169/17705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57169/17705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57169 ÷ 217
    57169 ÷ 131072     		x = 0.436164855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17705 ÷ 217
    17705 ÷ 131072     		y = 0.135078430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436164855957031 × 2 - 1) × π
    -0.127670288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40108804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135078430175781 × 2 - 1) × π
    0.729843139648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.29286984572691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40108804} λ = -0.40108804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29286984572691))-π/2
    2×atan(9.90331793287465)-π/2
    2×1.47016117461163-π/2
    2.94032234922327-1.57079632675     		φ = 1.36952602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40108804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36952602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.468061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57169 KachelY 17705 -0.40108804 1.36952602 -22.980652 78.468061
    Oben rechts KachelX + 1 57170 KachelY 17705 -0.40104010 1.36952602 -22.977905 78.468061
    Unten links KachelX 57169 KachelY + 1 17706 -0.40108804 1.36951644 -22.980652 78.467512
    Unten rechts KachelX + 1 57170 KachelY + 1 17706 -0.40104010 1.36951644 -22.977905 78.467512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36952602-1.36951644) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dl = 61.0341799997038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36952602-1.36951644) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dr = 61.0341799997038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40108804--0.40104010) × cos(1.36952602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199914155399233 × 6371000     		do = 61.0589288492456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40108804--0.40104010) × cos(1.36951644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199923542002585 × 6371000     		du = 61.0617957595207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36952602)-sin(1.36951644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199914155399233-0.199923542002585)×R²
    abs(-0.40104010--0.40108804)×9.38660335284003e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.38660335284003e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.38660335284003e-06×40589641000000     		ar = 3726.76914393165m²