Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57169 / 17680
↖ ↑ ↗
← N 78.481780°
W 22.980652°		 ← 60.99 m → N 78.481780°
W 22.977905°		 →
↑
60.97 m
↓
↑
60.97 m
↓
N 78.481231°
W 22.980652°		 ← 60.99 m →
3 719 m²		 N 78.481231°
W 22.977905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436168670654297 y=0.134891510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436168670654297 × 217)
    floor (0.436168670654297 × 131072)
    floor (57169.5)     		tx = 57169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134891510009766 × 217)
    floor (0.134891510009766 × 131072)
    floor (17680.5)     		ty = 17680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57169 / 17680 ti = "17/57169/17680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57169/17680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57169 ÷ 217
    57169 ÷ 131072     		x = 0.436164855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17680 ÷ 217
    17680 ÷ 131072     		y = 0.1348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436164855957031 × 2 - 1) × π
    -0.127670288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40108804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1348876953125 × 2 - 1) × π
    0.730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29406826821741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40108804} λ = -0.40108804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29406826821741))-π/2
    2×atan(9.91519340631191)-π/2
    2×1.47028089511558-π/2
    2.94056179023115-1.57079632675     		φ = 1.36976546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40108804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.980652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36976546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.481780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57169 KachelY 17680 -0.40108804 1.36976546 -22.980652 78.481780
    Oben rechts KachelX + 1 57170 KachelY 17680 -0.40104010 1.36976546 -22.977905 78.481780
    Unten links KachelX 57169 KachelY + 1 17681 -0.40108804 1.36975589 -22.980652 78.481231
    Unten rechts KachelX + 1 57170 KachelY + 1 17681 -0.40104010 1.36975589 -22.977905 78.481231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36976546-1.36975589) × R
    9.57000000001429e-06 × 6371000     		dl = 60.970470000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36976546-1.36975589) × R
    9.57000000001429e-06 × 6371000     		dr = 60.970470000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40108804--0.40104010) × cos(1.36976546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19967954314642 × 6371000     		do = 60.9872722283174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40108804--0.40104010) × cos(1.36975589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199688920409492 × 6371000     		du = 60.9901362858301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36976546)-sin(1.36975589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19967954314642-0.199688920409492)×R²
    abs(-0.40104010--0.40108804)×9.37726307126407e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.37726307126407e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.37726307126407e-06×40589641000000     		ar = 3718.50996320846m²