Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57168 / 9040
↖ ↑ ↗
← N 78.260332°
E134.033203°		 ← 124.29 m → N 78.260332°
E134.038697°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
N 78.259214°
E134.033203°		 ← 124.30 m →
15 449 m²		 N 78.259214°
E134.038697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872322082519531 y=0.137947082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872322082519531 × 216)
    floor (0.872322082519531 × 65536)
    floor (57168.5)     		tx = 57168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137947082519531 × 216)
    floor (0.137947082519531 × 65536)
    floor (9040.5)     		ty = 9040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57168 / 9040 ti = "16/57168/9040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57168/9040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57168 ÷ 216
    57168 ÷ 65536     		x = 0.872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9040 ÷ 216
    9040 ÷ 65536     		y = 0.137939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872314453125 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137939453125 × 2 - 1) × π
    0.72412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27489350836938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33932070} λ = 2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27489350836938))-π/2
    2×atan(9.72688312575936)-π/2
    2×1.468348398642-π/2
    2.936696797284-1.57079632675     		φ = 1.36590047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36590047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.260332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57168 KachelY 9040 2.33932070 1.36590047 134.033203 78.260332
    Oben rechts KachelX + 1 57169 KachelY 9040 2.33941658 1.36590047 134.038697 78.260332
    Unten links KachelX 57168 KachelY + 1 9041 2.33932070 1.36588096 134.033203 78.259214
    Unten rechts KachelX + 1 57169 KachelY + 1 9041 2.33941658 1.36588096 134.038697 78.259214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36590047-1.36588096) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36590047-1.36588096) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33932070-2.33941658) × cos(1.36590047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203465196252118 × 6371000     		do = 124.287016259015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33932070-2.33941658) × cos(1.36588096) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203484298106712 × 6371000     		du = 124.298684655165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36590047)-sin(1.36588096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203465196252118-0.203484298106712)×R²
    abs(2.33941658-2.33932070)×1.91018545943333e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91018545943333e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91018545943333e-05×40589641000000     		ar = 15449.3788283071m²