Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57168 / 44864
↖ ↑ ↗
← N 49.267804°
W 22.983399°		 ← 199.30 m → N 49.267804°
W 22.980652°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.266012°
W 22.983399°		 ← 199.30 m →
39 718 m²		 N 49.266012°
W 22.980652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436161041259766 y=0.342288970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436161041259766 × 217)
    floor (0.436161041259766 × 131072)
    floor (57168.5)     		tx = 57168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342288970947266 × 217)
    floor (0.342288970947266 × 131072)
    floor (44864.5)     		ty = 44864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57168 / 44864 ti = "17/57168/44864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57168/44864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57168 ÷ 217
    57168 ÷ 131072     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44864 ÷ 217
    44864 ÷ 131072     		y = 0.34228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990951588945801))-π/2
    2×atan(2.69379664019567)-π/2
    2×1.21534086570704-π/2
    2.43068173141409-1.57079632675     		φ = 0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57168 KachelY 44864 -0.40113598 0.85988540 -22.983399 49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 57169 KachelY 44864 -0.40108804 0.85988540 -22.980652 49.267804
    Unten links KachelX 57168 KachelY + 1 44865 -0.40113598 0.85985412 -22.983399 49.266012
    Unten rechts KachelX + 1 57169 KachelY + 1 44865 -0.40108804 0.85985412 -22.980652 49.266012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85988540-0.85985412) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85988540-0.85985412) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40108804) × cos(0.85988540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 199.297721055335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40108804) × cos(0.85985412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652548015294482 × 6371000     		du = 199.304960456949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85988540)-sin(0.85985412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.652548015294482)×R²
    abs(-0.40108804--0.40113598)×2.37026571956456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37026571956456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37026571956456e-05×40589641000000     		ar = 39717.7437797427m²