Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57167 / 44865
↖ ↑ ↗
← N 49.266012°
W 22.986145°		 ← 199.26 m → N 49.266012°
W 22.983399°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.264220°
W 22.986145°		 ← 199.27 m →
39 711 m²		 N 49.264220°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436153411865234 y=0.342296600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436153411865234 × 217)
    floor (0.436153411865234 × 131072)
    floor (57167.5)     		tx = 57167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342296600341797 × 217)
    floor (0.342296600341797 × 131072)
    floor (44865.5)     		ty = 44865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57167 / 44865 ti = "17/57167/44865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57167/44865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57167 ÷ 217
    57167 ÷ 131072     		x = 0.436149597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44865 ÷ 217
    44865 ÷ 131072     		y = 0.342292785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436149597167969 × 2 - 1) × π
    -0.127700805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40118391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342292785644531 × 2 - 1) × π
    0.315414428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.990903652046181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40118391} λ = -0.40118391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990903652046181))-π/2
    2×atan(2.69366751103158)-π/2
    2×1.21532522542683-π/2
    2.43065045085365-1.57079632675     		φ = 0.85985412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40118391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.986145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85985412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.266012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57167 KachelY 44865 -0.40118391 0.85985412 -22.986145 49.266012
    Oben rechts KachelX + 1 57168 KachelY 44865 -0.40113598 0.85985412 -22.983399 49.266012
    Unten links KachelX 57167 KachelY + 1 44866 -0.40118391 0.85982284 -22.986145 49.264220
    Unten rechts KachelX + 1 57168 KachelY + 1 44866 -0.40113598 0.85982284 -22.983399 49.264220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85985412-0.85982284) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85985412-0.85982284) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40118391--0.40113598) × cos(0.85985412) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652548015294482 × 6371000     		do = 199.263386622685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40118391--0.40113598) × cos(0.85982284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6525717173132 × 6371000     		du = 199.270624319236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85985412)-sin(0.85982284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652548015294482-0.6525717173132)×R²
    abs(-0.40113598--0.40118391)×2.37020187175974e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37020187175974e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37020187175974e-05×40589641000000     		ar = 39710.9012766036m²