Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57166 / 45326
↖ ↑ ↗
← N 48.432845°
W 22.988892°		 ← 202.65 m → N 48.432845°
W 22.986145°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.431023°
W 22.988892°		 ← 202.66 m →
41 070 m²		 N 48.431023°
W 22.986145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436145782470703 y=0.345813751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436145782470703 × 217)
    floor (0.436145782470703 × 131072)
    floor (57166.5)     		tx = 57166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345813751220703 × 217)
    floor (0.345813751220703 × 131072)
    floor (45326.5)     		ty = 45326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57166 / 45326 ti = "17/57166/45326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57166/45326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57166 ÷ 217
    57166 ÷ 131072     		x = 0.436141967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45326 ÷ 217
    45326 ÷ 131072     		y = 0.345809936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436141967773438 × 2 - 1) × π
    -0.127716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40123185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345809936523438 × 2 - 1) × π
    0.308380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.968804741321335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40123185} λ = -0.40123185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968804741321335))-π/2
    2×atan(2.63479331693559)-π/2
    2×1.20805447243993-π/2
    2.41610894487985-1.57079632675     		φ = 0.84531262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40123185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.988892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84531262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.432845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57166 KachelY 45326 -0.40123185 0.84531262 -22.988892 48.432845
    Oben rechts KachelX + 1 57167 KachelY 45326 -0.40118391 0.84531262 -22.986145 48.432845
    Unten links KachelX 57166 KachelY + 1 45327 -0.40123185 0.84528081 -22.988892 48.431023
    Unten rechts KachelX + 1 57167 KachelY + 1 45327 -0.40118391 0.84528081 -22.986145 48.431023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84531262-0.84528081) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84531262-0.84528081) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40123185--0.40118391) × cos(0.84531262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		do = 202.649190286435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40123185--0.40118391) × cos(0.84528081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663521218552624 × 6371000     		du = 202.656459182239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84531262)-sin(0.84528081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663497419327964-0.663521218552624)×R²
    abs(-0.40118391--0.40123185)×2.37992246602259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37992246602259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37992246602259e-05×40589641000000     		ar = 41069.9274698517m²