Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57166 / 38747
↖ ↑ ↗
← N 59.047619°
W 22.988892°		 ← 157.09 m → N 59.047619°
W 22.986145°		 →
↑
157.11 m
↓
↑
157.11 m
↓
N 59.046206°
W 22.988892°		 ← 157.09 m →
24 680 m²		 N 59.046206°
W 22.986145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436145782470703 y=0.295619964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436145782470703 × 217)
    floor (0.436145782470703 × 131072)
    floor (57166.5)     		tx = 57166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295619964599609 × 217)
    floor (0.295619964599609 × 131072)
    floor (38747.5)     		ty = 38747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57166 / 38747 ti = "17/57166/38747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57166/38747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57166 ÷ 217
    57166 ÷ 131072     		x = 0.436141967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38747 ÷ 217
    38747 ÷ 131072     		y = 0.295616149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436141967773438 × 2 - 1) × π
    -0.127716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40123185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295616149902344 × 2 - 1) × π
    0.408767700195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28418160392168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40123185} λ = -0.40123185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28418160392168))-π/2
    2×atan(3.61171093730864)-π/2
    2×1.30068584278148-π/2
    2.60137168556296-1.57079632675     		φ = 1.03057536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40123185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.988892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03057536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.047619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57166 KachelY 38747 -0.40123185 1.03057536 -22.988892 59.047619
    Oben rechts KachelX + 1 57167 KachelY 38747 -0.40118391 1.03057536 -22.986145 59.047619
    Unten links KachelX 57166 KachelY + 1 38748 -0.40123185 1.03055070 -22.988892 59.046206
    Unten rechts KachelX + 1 57167 KachelY + 1 38748 -0.40118391 1.03055070 -22.986145 59.046206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03057536-1.03055070) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dl = 157.108860000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03057536-1.03055070) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dr = 157.108860000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40123185--0.40118391) × cos(1.03057536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514325504238161 × 6371000     		do = 157.088247732892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40123185--0.40118391) × cos(1.03055070) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514346652375792 × 6371000     		du = 157.094706918478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03057536)-sin(1.03055070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514325504238161-0.514346652375792)×R²
    abs(-0.40118391--0.40123185)×2.11481376310996e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11481376310996e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11481376310996e-05×40589641000000     		ar = 24680.4629195829m²