Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57165 / 9056
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E134.016724°		 ← 124.46 m → N 78.242436°
E134.022217°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
N 78.241317°
E134.016724°		 ← 124.47 m →
15 487 m²		 N 78.241317°
E134.022217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872276306152344 y=0.138191223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872276306152344 × 216)
    floor (0.872276306152344 × 65536)
    floor (57165.5)     		tx = 57165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138191223144531 × 216)
    floor (0.138191223144531 × 65536)
    floor (9056.5)     		ty = 9056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57165 / 9056 ti = "16/57165/9056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57165/9056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57165 ÷ 216
    57165 ÷ 65536     		x = 0.872268676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9056 ÷ 216
    9056 ÷ 65536     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872268676757812 × 2 - 1) × π
    0.744537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33903308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33903308} λ = 2.33903308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33903308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.016724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57165 KachelY 9056 2.33903308 1.36558812 134.016724 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 57166 KachelY 9056 2.33912895 1.36558812 134.022217 78.242436
    Unten links KachelX 57165 KachelY + 1 9057 2.33903308 1.36556859 134.016724 78.241317
    Unten rechts KachelX + 1 57166 KachelY + 1 9057 2.33912895 1.36556859 134.022217 78.241317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36556859) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dl = 124.425629999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36556859) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dr = 124.425629999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33903308-2.33912895) × cos(1.36558812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 124.460836293498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33903308-2.33912895) × cos(1.36556859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203790122834565 × 6371000     		du = 124.472514674147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36556859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.203790122834565)×R²
    abs(2.33912895-2.33903308)×1.91201939898356e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91201939898356e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91201939898356e-05×40589641000000     		ar = 15486.8445115186m²