Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57165 / 17679
↖ ↑ ↗
← N 78.482329°
W 22.991638°		 ← 60.98 m → N 78.482329°
W 22.988892°		 →
↑
61.03 m
↓
↑
61.03 m
↓
N 78.481780°
W 22.991638°		 ← 60.99 m →
3 722 m²		 N 78.481780°
W 22.988892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436138153076172 y=0.134883880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436138153076172 × 217)
    floor (0.436138153076172 × 131072)
    floor (57165.5)     		tx = 57165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134883880615234 × 217)
    floor (0.134883880615234 × 131072)
    floor (17679.5)     		ty = 17679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57165 / 17679 ti = "17/57165/17679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57165/17679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57165 ÷ 217
    57165 ÷ 131072     		x = 0.436134338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17679 ÷ 217
    17679 ÷ 131072     		y = 0.134880065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436134338378906 × 2 - 1) × π
    -0.127731323242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40127979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134880065917969 × 2 - 1) × π
    0.730239868164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.29411620511703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40127979} λ = -0.40127979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29411620511703))-π/2
    2×atan(9.91566872133541)-π/2
    2×1.4702856810122-π/2
    2.94057136202441-1.57079632675     		φ = 1.36977504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40127979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.991638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36977504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.482329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57165 KachelY 17679 -0.40127979 1.36977504 -22.991638 78.482329
    Oben rechts KachelX + 1 57166 KachelY 17679 -0.40123185 1.36977504 -22.988892 78.482329
    Unten links KachelX 57165 KachelY + 1 17680 -0.40127979 1.36976546 -22.991638 78.481780
    Unten rechts KachelX + 1 57166 KachelY + 1 17680 -0.40123185 1.36976546 -22.988892 78.481780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36977504-1.36976546) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dl = 61.0341799997038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36977504-1.36976546) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dr = 61.0341799997038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40127979--0.40123185) × cos(1.36977504) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19967015606643 × 6371000     		do = 60.9844051725354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40127979--0.40123185) × cos(1.36976546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19967954314642 × 6371000     		du = 60.987272228388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36977504)-sin(1.36976546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19967015606643-0.19967954314642)×R²
    abs(-0.40123185--0.40127979)×9.38707999054156e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.38707999054156e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.38707999054156e-06×40589641000000     		ar = 3722.22065671707m²