Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57164 / 9044
↖ ↑ ↗
← N 78.255861°
E134.011231°		 ← 124.32 m → N 78.255861°
E134.016724°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
N 78.254742°
E134.011231°		 ← 124.33 m →
15 461 m²		 N 78.254742°
E134.016724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872261047363281 y=0.138008117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872261047363281 × 216)
    floor (0.872261047363281 × 65536)
    floor (57164.5)     		tx = 57164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138008117675781 × 216)
    floor (0.138008117675781 × 65536)
    floor (9044.5)     		ty = 9044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57164 / 9044 ti = "16/57164/9044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57164/9044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57164 ÷ 216
    57164 ÷ 65536     		x = 0.87225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9044 ÷ 216
    9044 ÷ 65536     		y = 0.13800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87225341796875 × 2 - 1) × π
    0.7445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33893721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13800048828125 × 2 - 1) × π
    0.7239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27451001317242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33893721} λ = 2.33893721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27451001317242))-π/2
    2×atan(9.72315362796719)-π/2
    2×1.46830937735411-π/2
    2.93661875470822-1.57079632675     		φ = 1.36582243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33893721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.011231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36582243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.255861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57164 KachelY 9044 2.33893721 1.36582243 134.011231 78.255861
    Oben rechts KachelX + 1 57165 KachelY 9044 2.33903308 1.36582243 134.016724 78.255861
    Unten links KachelX 57164 KachelY + 1 9045 2.33893721 1.36580291 134.011231 78.254742
    Unten rechts KachelX + 1 57165 KachelY + 1 9045 2.33903308 1.36580291 134.016724 78.254742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36582243-1.36580291) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36582243-1.36580291) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33893721-2.33903308) × cos(1.36582243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20354160320574 × 6371000     		do = 124.320721924256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33893721-2.33903308) × cos(1.36580291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203560714541097 × 6371000     		du = 124.332394894161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36582243)-sin(1.36580291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20354160320574-0.203560714541097)×R²
    abs(2.33903308-2.33893721)×1.91113353567862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91113353567862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91113353567862e-05×40589641000000     		ar = 15461.4895112783m²