Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57164 / 45364
↖ ↑ ↗
← N 48.363549°
W 22.994385°		 ← 202.88 m → N 48.363549°
W 22.991638°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 48.361724°
W 22.994385°		 ← 202.89 m →
41 169 m²		 N 48.361724°
W 22.991638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436130523681641 y=0.346103668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436130523681641 × 217)
    floor (0.436130523681641 × 131072)
    floor (57164.5)     		tx = 57164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346103668212891 × 217)
    floor (0.346103668212891 × 131072)
    floor (45364.5)     		ty = 45364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57164 / 45364 ti = "17/57164/45364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57164/45364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57164 ÷ 217
    57164 ÷ 131072     		x = 0.436126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45364 ÷ 217
    45364 ÷ 131072     		y = 0.346099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.12774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40132772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346099853515625 × 2 - 1) × π
    0.30780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966983139135773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40132772} λ = -0.40132772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966983139135773))-π/2
    2×atan(2.6299981404489)-π/2
    2×1.2074497464193-π/2
    2.4148994928386-1.57079632675     		φ = 0.84410317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40132772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84410317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.363549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57164 KachelY 45364 -0.40132772 0.84410317 -22.994385 48.363549
    Oben rechts KachelX + 1 57165 KachelY 45364 -0.40127979 0.84410317 -22.991638 48.363549
    Unten links KachelX 57164 KachelY + 1 45365 -0.40132772 0.84407132 -22.994385 48.361724
    Unten rechts KachelX + 1 57165 KachelY + 1 45365 -0.40127979 0.84407132 -22.991638 48.361724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84410317-0.84407132) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84410317-0.84407132) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40132772--0.40127979) × cos(0.84410317) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664401818408641 × 6371000     		do = 202.883088004843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40132772--0.40127979) × cos(0.84407132) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664425621983146 × 6371000     		du = 202.890356712675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84410317)-sin(0.84407132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664401818408641-0.664425621983146)×R²
    abs(-0.40127979--0.40132772)×2.38035745049325e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38035745049325e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38035745049325e-05×40589641000000     		ar = 41169.0331680424m²