Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57163 / 81203
↖ ↑ ↗
← S 39.476486°
W 22.997131°		 ← 235.75 m → S 39.476486°
W 22.994385°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 39.478605°
W 22.997131°		 ← 235.75 m →
55 573 m²		 S 39.478605°
W 22.994385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436122894287109 y=0.619533538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436122894287109 × 217)
    floor (0.436122894287109 × 131072)
    floor (57163.5)     		tx = 57163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619533538818359 × 217)
    floor (0.619533538818359 × 131072)
    floor (81203.5)     		ty = 81203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57163 / 81203 ti = "17/57163/81203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57163/81203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57163 ÷ 217
    57163 ÷ 131072     		x = 0.436119079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81203 ÷ 217
    81203 ÷ 131072     		y = 0.619529724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436119079589844 × 2 - 1) × π
    -0.127761840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40137566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619529724121094 × 2 - 1) × π
    -0.239059448242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.75102740634742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40137566} λ = -0.40137566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75102740634742))-π/2
    2×atan(0.471881489567579)-π/2
    2×0.440900838387372-π/2
    0.881801676774743-1.57079632675     		φ = -0.68899465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40137566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.997131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68899465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.476486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57163 KachelY 81203 -0.40137566 -0.68899465 -22.997131 -39.476486
    Oben rechts KachelX + 1 57164 KachelY 81203 -0.40132772 -0.68899465 -22.994385 -39.476486
    Unten links KachelX 57163 KachelY + 1 81204 -0.40137566 -0.68903165 -22.997131 -39.478605
    Unten rechts KachelX + 1 57164 KachelY + 1 81204 -0.40132772 -0.68903165 -22.994385 -39.478605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68899465--0.68903165) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dl = 235.726999999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68899465--0.68903165) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dr = 235.726999999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40137566--0.40132772) × cos(-0.68899465) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.771885567785274 × 6371000     		do = 235.753720736256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40137566--0.40132772) × cos(-0.68903165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.771862044081849 × 6371000     		du = 235.74653599173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68899465)-sin(-0.68903165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771885567785274-0.771862044081849)×R²
    abs(-0.40132772--0.40137566)×2.35237034243996e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35237034243996e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35237034243996e-05×40589641000000     		ar = 55572.6705151935m²