Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57163 / 29752
↖ ↑ ↗
← N 69.603549°
W 22.997131°		 ← 106.45 m → N 69.603549°
W 22.994385°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 69.602592°
W 22.997131°		 ← 106.45 m →
11 326 m²		 N 69.602592°
W 22.994385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436122894287109 y=0.226993560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436122894287109 × 217)
    floor (0.436122894287109 × 131072)
    floor (57163.5)     		tx = 57163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226993560791016 × 217)
    floor (0.226993560791016 × 131072)
    floor (29752.5)     		ty = 29752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57163 / 29752 ti = "17/57163/29752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57163/29752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57163 ÷ 217
    57163 ÷ 131072     		x = 0.436119079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29752 ÷ 217
    29752 ÷ 131072     		y = 0.22698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436119079589844 × 2 - 1) × π
    -0.127761840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40137566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22698974609375 × 2 - 1) × π
    0.5460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71537401600409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40137566} λ = -0.40137566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71537401600409))-π/2
    2×atan(5.55875418663707)-π/2
    2×1.39280371584276-π/2
    2.78560743168552-1.57079632675     		φ = 1.21481110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40137566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.997131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21481110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.603549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57163 KachelY 29752 -0.40137566 1.21481110 -22.997131 69.603549
    Oben rechts KachelX + 1 57164 KachelY 29752 -0.40132772 1.21481110 -22.994385 69.603549
    Unten links KachelX 57163 KachelY + 1 29753 -0.40137566 1.21479440 -22.997131 69.602592
    Unten rechts KachelX + 1 57164 KachelY + 1 29753 -0.40132772 1.21479440 -22.994385 69.602592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21481110-1.21479440) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21481110-1.21479440) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40137566--0.40132772) × cos(1.21481110) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348513990833184 × 6371000     		do = 106.445143550632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40137566--0.40132772) × cos(1.21479440) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348529643754345 × 6371000     		du = 106.449924355661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21481110)-sin(1.21479440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348513990833184-0.348529643754345)×R²
    abs(-0.40132772--0.40137566)×1.56529211610135e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56529211610135e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56529211610135e-05×40589641000000     		ar = 11325.5598884515m²