Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57162 / 81058
↖ ↑ ↗
← S 39.168400°
W 22.999878°		 ← 236.79 m → S 39.168400°
W 22.997131°		 →
↑
236.81 m
↓
↑
236.81 m
↓
S 39.170530°
W 22.999878°		 ← 236.79 m →
56 074 m²		 S 39.170530°
W 22.997131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436115264892578 y=0.618427276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436115264892578 × 217)
    floor (0.436115264892578 × 131072)
    floor (57162.5)     		tx = 57162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618427276611328 × 217)
    floor (0.618427276611328 × 131072)
    floor (81058.5)     		ty = 81058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57162 / 81058 ti = "17/57162/81058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57162/81058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57162 ÷ 217
    57162 ÷ 131072     		x = 0.436111450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81058 ÷ 217
    81058 ÷ 131072     		y = 0.618423461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436111450195312 × 2 - 1) × π
    -0.127777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40142360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618423461914062 × 2 - 1) × π
    -0.236846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.744076555902512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40142360} λ = -0.40142360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744076555902512))-π/2
    2×atan(0.475172893003988)-π/2
    2×0.443589392141314-π/2
    0.887178784282628-1.57079632675     		φ = -0.68361754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40142360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.999878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68361754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.168400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57162 KachelY 81058 -0.40142360 -0.68361754 -22.999878 -39.168400
    Oben rechts KachelX + 1 57163 KachelY 81058 -0.40137566 -0.68361754 -22.997131 -39.168400
    Unten links KachelX 57162 KachelY + 1 81059 -0.40142360 -0.68365471 -22.999878 -39.170530
    Unten rechts KachelX + 1 57163 KachelY + 1 81059 -0.40137566 -0.68365471 -22.997131 -39.170530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68361754--0.68365471) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dl = 236.810070000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68361754--0.68365471) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dr = 236.810070000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40142360--0.40137566) × cos(-0.68361754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775292951911797 × 6371000     		do = 236.79442355429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40142360--0.40137566) × cos(-0.68365471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775269474737175 × 6371000     		du = 236.787253020858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68361754)-sin(-0.68365471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775292951911797-0.775269474737175)×R²
    abs(-0.40137566--0.40142360)×2.3477174622144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3477174622144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3477174622144e-05×40589641000000     		ar = 56074.4549968075m²