Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57161 / 85047
↖ ↑ ↗
← S 47.143029°
W 23.002624°		 ← 207.70 m → S 47.143029°
W 22.999878°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 47.144898°
W 23.002624°		 ← 207.69 m →
43 150 m²		 S 47.144898°
W 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436107635498047 y=0.648860931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436107635498047 × 217)
    floor (0.436107635498047 × 131072)
    floor (57161.5)     		tx = 57161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648860931396484 × 217)
    floor (0.648860931396484 × 131072)
    floor (85047.5)     		ty = 85047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57161 / 85047 ti = "17/57161/85047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57161/85047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57161 ÷ 217
    57161 ÷ 131072     		x = 0.436103820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85047 ÷ 217
    85047 ÷ 131072     		y = 0.648857116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436103820800781 × 2 - 1) × π
    -0.127792358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40147153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648857116699219 × 2 - 1) × π
    -0.297714233398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.935296848486916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40147153} λ = -0.40147153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935296848486916))-π/2
    2×atan(0.392469344306781)-π/2
    2×0.373997622434356-π/2
    0.747995244868712-1.57079632675     		φ = -0.82280108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40147153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.002624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82280108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.143029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57161 KachelY 85047 -0.40147153 -0.82280108 -23.002624 -47.143029
    Oben rechts KachelX + 1 57162 KachelY 85047 -0.40142360 -0.82280108 -22.999878 -47.143029
    Unten links KachelX 57161 KachelY + 1 85048 -0.40147153 -0.82283369 -23.002624 -47.144898
    Unten rechts KachelX + 1 57162 KachelY + 1 85048 -0.40142360 -0.82283369 -22.999878 -47.144898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82280108--0.82283369) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82280108--0.82283369) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40147153--0.40142360) × cos(-0.82280108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680170535636179 × 6371000     		do = 207.698255508178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40147153--0.40142360) × cos(-0.82283369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680146630386361 × 6371000     		du = 207.690955752566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82280108)-sin(-0.82283369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680170535636179-0.680146630386361)×R²
    abs(-0.40142360--0.40147153)×2.39052498182124e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39052498182124e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39052498182124e-05×40589641000000     		ar = 43150.2802657323m²