Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57161 / 84282
↖ ↑ ↗
← S 45.694670°
W 23.002624°		 ← 213.29 m → S 45.694670°
W 22.999878°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 45.696588°
W 23.002624°		 ← 213.28 m →
45 494 m²		 S 45.696588°
W 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436107635498047 y=0.643024444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436107635498047 × 217)
    floor (0.436107635498047 × 131072)
    floor (57161.5)     		tx = 57161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643024444580078 × 217)
    floor (0.643024444580078 × 131072)
    floor (84282.5)     		ty = 84282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57161 / 84282 ti = "17/57161/84282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57161/84282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57161 ÷ 217
    57161 ÷ 131072     		x = 0.436103820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84282 ÷ 217
    84282 ÷ 131072     		y = 0.643020629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436103820800781 × 2 - 1) × π
    -0.127792358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40147153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.286041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.898625120277573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40147153} λ = -0.40147153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898625120277573))-π/2
    2×atan(0.407129028565844)-π/2
    2×0.386636943715588-π/2
    0.773273887431175-1.57079632675     		φ = -0.79752244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40147153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.002624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79752244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.694670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57161 KachelY 84282 -0.40147153 -0.79752244 -23.002624 -45.694670
    Oben rechts KachelX + 1 57162 KachelY 84282 -0.40142360 -0.79752244 -22.999878 -45.694670
    Unten links KachelX 57161 KachelY + 1 84283 -0.40147153 -0.79755592 -23.002624 -45.696588
    Unten rechts KachelX + 1 57162 KachelY + 1 84283 -0.40142360 -0.79755592 -22.999878 -45.696588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79752244--0.79755592) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79752244--0.79755592) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40147153--0.40142360) × cos(-0.79752244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.698481861987933 × 6371000     		do = 213.289839294946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40147153--0.40142360) × cos(-0.79755592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.698457902379122 × 6371000     		du = 213.282522940161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79752244)-sin(-0.79755592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698481861987933-0.698457902379122)×R²
    abs(-0.40142360--0.40147153)×2.39596088117411e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39596088117411e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39596088117411e-05×40589641000000     		ar = 45494.1727856079m²