Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57160 / 9048
↖ ↑ ↗
← N 78.251388°
E133.989258°		 ← 124.37 m → N 78.251388°
E133.994751°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
N 78.250269°
E133.989258°		 ← 124.38 m →
15 475 m²		 N 78.250269°
E133.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872200012207031 y=0.138069152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872200012207031 × 216)
    floor (0.872200012207031 × 65536)
    floor (57160.5)     		tx = 57160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138069152832031 × 216)
    floor (0.138069152832031 × 65536)
    floor (9048.5)     		ty = 9048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57160 / 9048 ti = "16/57160/9048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57160/9048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57160 ÷ 216
    57160 ÷ 65536     		x = 0.8721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9048 ÷ 216
    9048 ÷ 65536     		y = 0.1380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8721923828125 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33855371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1380615234375 × 2 - 1) × π
    0.723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27412651797546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33855371} λ = 2.33855371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27412651797546))-π/2
    2×atan(9.71942556014529)-π/2
    2×1.46827034141225-π/2
    2.9365406828245-1.57079632675     		φ = 1.36574436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33855371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36574436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.251388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57160 KachelY 9048 2.33855371 1.36574436 133.989258 78.251388
    Oben rechts KachelX + 1 57161 KachelY 9048 2.33864958 1.36574436 133.994751 78.251388
    Unten links KachelX 57160 KachelY + 1 9049 2.33855371 1.36572483 133.989258 78.250269
    Unten rechts KachelX + 1 57161 KachelY + 1 9049 2.33864958 1.36572483 133.994751 78.250269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36574436-1.36572483) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dl = 124.425630000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36574436-1.36572483) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dr = 124.425630000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33855371-2.33864958) × cos(1.36574436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203618038291257 × 6371000     		do = 124.367407539689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33855371-2.33864958) × cos(1.36572483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203637159106823 × 6371000     		du = 124.379086299989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36574436)-sin(1.36572483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203618038291257-0.203637159106823)×R²
    abs(2.33864958-2.33855371)×1.9120815566015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9120815566015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9120815566015e-05×40589641000000     		ar = 15475.2196040244m²