Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57160 / 8794
↖ ↑ ↗
← N 78.532127°
E133.989258°		 ← 121.44 m → N 78.532127°
E133.994751°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
N 78.531035°
E133.989258°		 ← 121.45 m →
14 747 m²		 N 78.531035°
E133.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872200012207031 y=0.134193420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872200012207031 × 216)
    floor (0.872200012207031 × 65536)
    floor (57160.5)     		tx = 57160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134193420410156 × 216)
    floor (0.134193420410156 × 65536)
    floor (8794.5)     		ty = 8794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57160 / 8794 ti = "16/57160/8794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57160/8794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57160 ÷ 216
    57160 ÷ 65536     		x = 0.8721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8794 ÷ 216
    8794 ÷ 65536     		y = 0.134185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8721923828125 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33855371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134185791015625 × 2 - 1) × π
    0.73162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29847846298245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33855371} λ = 2.33855371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29847846298245))-π/2
    2×atan(9.95901790662625)-π/2
    2×1.47072025787912-π/2
    2.94144051575825-1.57079632675     		φ = 1.37064419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33855371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37064419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.532127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57160 KachelY 8794 2.33855371 1.37064419 133.989258 78.532127
    Oben rechts KachelX + 1 57161 KachelY 8794 2.33864958 1.37064419 133.994751 78.532127
    Unten links KachelX 57160 KachelY + 1 8795 2.33855371 1.37062513 133.989258 78.531035
    Unten rechts KachelX + 1 57161 KachelY + 1 8795 2.33864958 1.37062513 133.994751 78.531035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37064419-1.37062513) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dl = 121.431259999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37064419-1.37062513) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dr = 121.431259999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33855371-2.33864958) × cos(1.37064419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198818432683263 × 6371000     		do = 121.435867133503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33855371-2.33864958) × cos(1.37062513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198837112139819 × 6371000     		du = 121.447276317117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37064419)-sin(1.37062513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198818432683263-0.198837112139819)×R²
    abs(2.33864958-2.33855371)×1.86794565555926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86794565555926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86794565555926e-05×40589641000000     		ar = 14746.8030713895m²