Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57160 / 86872
↖ ↑ ↗
← S 50.443513°
W 23.005371°		 ← 194.51 m → S 50.443513°
W 23.002624°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
S 50.445262°
W 23.005371°		 ← 194.50 m →
37 832 m²		 S 50.445262°
W 23.002624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436100006103516 y=0.662784576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436100006103516 × 217)
    floor (0.436100006103516 × 131072)
    floor (57160.5)     		tx = 57160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662784576416016 × 217)
    floor (0.662784576416016 × 131072)
    floor (86872.5)     		ty = 86872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57160 / 86872 ti = "17/57160/86872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57160/86872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57160 ÷ 217
    57160 ÷ 131072     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86872 ÷ 217
    86872 ÷ 131072     		y = 0.66278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.3255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02278169029352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02278169029352))-π/2
    2×atan(0.359593270541346)-π/2
    2×0.345195468887693-π/2
    0.690390937775385-1.57079632675     		φ = -0.88040539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88040539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.443513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57160 KachelY 86872 -0.40151947 -0.88040539 -23.005371 -50.443513
    Oben rechts KachelX + 1 57161 KachelY 86872 -0.40147153 -0.88040539 -23.002624 -50.443513
    Unten links KachelX 57160 KachelY + 1 86873 -0.40151947 -0.88043592 -23.005371 -50.445262
    Unten rechts KachelX + 1 57161 KachelY + 1 86873 -0.40147153 -0.88043592 -23.002624 -50.445262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88040539--0.88043592) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dl = 194.506630000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88040539--0.88043592) × R
    3.05300000000841e-05 × 6371000     		dr = 194.506630000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40147153) × cos(-0.88040539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636838642017977 × 6371000     		do = 194.506913498808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40147153) × cos(-0.88043592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636815103179412 × 6371000     		du = 194.499724131621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88040539)-sin(-0.88043592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636838642017977-0.636815103179412)×R²
    abs(-0.40147153--0.40151947)×2.35388385653179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35388385653179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35388385653179e-05×40589641000000     		ar = 37832.1850695436m²