Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57160 / 45351
↖ ↑ ↗
← N 48.387266°
W 23.005371°		 ← 202.83 m → N 48.387266°
W 23.002624°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 48.385442°
W 23.005371°		 ← 202.84 m →
41 133 m²		 N 48.385442°
W 23.002624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436100006103516 y=0.346004486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436100006103516 × 217)
    floor (0.436100006103516 × 131072)
    floor (57160.5)     		tx = 57160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346004486083984 × 217)
    floor (0.346004486083984 × 131072)
    floor (45351.5)     		ty = 45351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57160 / 45351 ti = "17/57160/45351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57160/45351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57160 ÷ 217
    57160 ÷ 131072     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45351 ÷ 217
    45351 ÷ 131072     		y = 0.346000671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346000671386719 × 2 - 1) × π
    0.307998657226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.967606318830833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967606318830833))-π/2
    2×atan(2.63163761267792)-π/2
    2×1.20765671907318-π/2
    2.41531343814637-1.57079632675     		φ = 0.84451711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84451711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.387266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57160 KachelY 45351 -0.40151947 0.84451711 -23.005371 48.387266
    Oben rechts KachelX + 1 57161 KachelY 45351 -0.40147153 0.84451711 -23.002624 48.387266
    Unten links KachelX 57160 KachelY + 1 45352 -0.40151947 0.84448528 -23.005371 48.385442
    Unten rechts KachelX + 1 57161 KachelY + 1 45352 -0.40147153 0.84448528 -23.002624 48.385442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84451711-0.84448528) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84451711-0.84448528) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40147153) × cos(0.84451711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664092392857871 × 6371000     		do = 202.830910516853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40147153) × cos(0.84448528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664116190237372 × 6371000     		du = 202.838178849097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84451711)-sin(0.84448528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664092392857871-0.664116190237372)×R²
    abs(-0.40147153--0.40151947)×2.37973795010893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37973795010893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37973795010893e-05×40589641000000     		ar = 41132.6002867209m²