Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57160 / 29719
↖ ↑ ↗
← N 69.635114°
W 23.005371°		 ← 106.29 m → N 69.635114°
W 23.002624°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
N 69.634158°
W 23.005371°		 ← 106.29 m →
11 302 m²		 N 69.634158°
W 23.002624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436100006103516 y=0.226741790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436100006103516 × 217)
    floor (0.436100006103516 × 131072)
    floor (57160.5)     		tx = 57160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226741790771484 × 217)
    floor (0.226741790771484 × 131072)
    floor (29719.5)     		ty = 29719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57160 / 29719 ti = "17/57160/29719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57160/29719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57160 ÷ 217
    57160 ÷ 131072     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29719 ÷ 217
    29719 ÷ 131072     		y = 0.226737976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226737976074219 × 2 - 1) × π
    0.546524047851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.71695593369155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71695593369155))-π/2
    2×atan(5.5675546371641)-π/2
    2×1.39307917178356-π/2
    2.78615834356712-1.57079632675     		φ = 1.21536202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21536202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.635114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57160 KachelY 29719 -0.40151947 1.21536202 -23.005371 69.635114
    Oben rechts KachelX + 1 57161 KachelY 29719 -0.40147153 1.21536202 -23.002624 69.635114
    Unten links KachelX 57160 KachelY + 1 29720 -0.40151947 1.21534533 -23.005371 69.634158
    Unten rechts KachelX + 1 57161 KachelY + 1 29720 -0.40147153 1.21534533 -23.002624 69.634158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21536202-1.21534533) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dl = 106.331990000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21536202-1.21534533) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dr = 106.331990000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40147153) × cos(1.21536202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347997558682625 × 6371000     		do = 106.287411878764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40147153) × cos(1.21534533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348013205433042 × 6371000     		du = 106.292190799089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21536202)-sin(1.21534533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347997558682625-0.348013205433042)×R²
    abs(-0.40147153--0.40151947)×1.56467504167646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56467504167646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56467504167646e-05×40589641000000     		ar = 11302.0060932807m²