Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57159 / 8792
↖ ↑ ↗
← N 78.534311°
E133.983765°		 ← 121.41 m → N 78.534311°
E133.989258°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
N 78.533219°
E133.983765°		 ← 121.42 m →
14 744 m²		 N 78.533219°
E133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872184753417969 y=0.134162902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872184753417969 × 216)
    floor (0.872184753417969 × 65536)
    floor (57159.5)     		tx = 57159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134162902832031 × 216)
    floor (0.134162902832031 × 65536)
    floor (8792.5)     		ty = 8792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57159 / 8792 ti = "16/57159/8792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57159/8792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57159 ÷ 216
    57159 ÷ 65536     		x = 0.872177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8792 ÷ 216
    8792 ÷ 65536     		y = 0.1341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872177124023438 × 2 - 1) × π
    0.744354248046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33845784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1341552734375 × 2 - 1) × π
    0.731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29867021058093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33845784} λ = 2.33845784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29867021058093))-π/2
    2×atan(9.96092770748708)-π/2
    2×1.47073931756682-π/2
    2.94147863513363-1.57079632675     		φ = 1.37068231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33845784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37068231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.534311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57159 KachelY 8792 2.33845784 1.37068231 133.983765 78.534311
    Oben rechts KachelX + 1 57160 KachelY 8792 2.33855371 1.37068231 133.989258 78.534311
    Unten links KachelX 57159 KachelY + 1 8793 2.33845784 1.37066325 133.983765 78.533219
    Unten rechts KachelX + 1 57160 KachelY + 1 8793 2.33855371 1.37066325 133.989258 78.533219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37068231-1.37066325) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37068231-1.37066325) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33845784-2.33855371) × cos(1.37068231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198781073553476 × 6371000     		do = 121.413048633931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33845784-2.33855371) × cos(1.37066325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19879975315448 × 6371000     		du = 121.424457905773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37068231)-sin(1.37066325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198781073553476-0.19879975315448)×R²
    abs(2.33855371-2.33845784)×1.86796010039625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86796010039625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86796010039625e-05×40589641000000     		ar = 14744.0321976187m²