Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57159 / 38362
↖ ↑ ↗
← N 59.587194°
W 23.008118°		 ← 154.61 m → N 59.587194°
W 23.005371°		 →
↑
154.56 m
↓
↑
154.56 m
↓
N 59.585804°
W 23.008118°		 ← 154.62 m →
23 898 m²		 N 59.585804°
W 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436092376708984 y=0.292682647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436092376708984 × 217)
    floor (0.436092376708984 × 131072)
    floor (57159.5)     		tx = 57159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292682647705078 × 217)
    floor (0.292682647705078 × 131072)
    floor (38362.5)     		ty = 38362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57159 / 38362 ti = "17/57159/38362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57159/38362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57159 ÷ 217
    57159 ÷ 131072     		x = 0.436088562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38362 ÷ 217
    38362 ÷ 131072     		y = 0.292678833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436088562011719 × 2 - 1) × π
    -0.127822875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40156741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292678833007812 × 2 - 1) × π
    0.414642333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30263731027541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40156741} λ = -0.40156741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30263731027541))-π/2
    2×atan(3.67898651337276)-π/2
    2×1.30539453086694-π/2
    2.61078906173389-1.57079632675     		φ = 1.03999273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40156741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.008118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03999273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.587194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57159 KachelY 38362 -0.40156741 1.03999273 -23.008118 59.587194
    Oben rechts KachelX + 1 57160 KachelY 38362 -0.40151947 1.03999273 -23.005371 59.587194
    Unten links KachelX 57159 KachelY + 1 38363 -0.40156741 1.03996847 -23.008118 59.585804
    Unten rechts KachelX + 1 57160 KachelY + 1 38363 -0.40151947 1.03996847 -23.005371 59.585804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03999273-1.03996847) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dl = 154.560459999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03999273-1.03996847) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dr = 154.560459999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40156741--0.40151947) × cos(1.03999273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.506226526898133 × 6371000     		do = 154.61461158557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40156741--0.40151947) × cos(1.03996847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.506247448586432 × 6371000     		du = 154.6210016077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03999273)-sin(1.03996847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506226526898133-0.506247448586432)×R²
    abs(-0.40151947--0.40156741)×2.09216882989249e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09216882989249e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09216882989249e-05×40589641000000     		ar = 23897.7993128436m²