Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57158 / 9414
↖ ↑ ↗
← N 77.834904°
E133.978271°		 ← 128.72 m → N 77.834904°
E133.983765°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
N 77.833747°
E133.978271°		 ← 128.74 m →
16 567 m²		 N 77.833747°
E133.983765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872169494628906 y=0.143653869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872169494628906 × 216)
    floor (0.872169494628906 × 65536)
    floor (57158.5)     		tx = 57158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143653869628906 × 216)
    floor (0.143653869628906 × 65536)
    floor (9414.5)     		ty = 9414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57158 / 9414 ti = "16/57158/9414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57158/9414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57158 ÷ 216
    57158 ÷ 65536     		x = 0.872161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9414 ÷ 216
    9414 ÷ 65536     		y = 0.143646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872161865234375 × 2 - 1) × π
    0.74432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33836196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143646240234375 × 2 - 1) × π
    0.71270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23903670745358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33836196} λ = 2.33836196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23903670745358))-π/2
    2×atan(9.38428711821733)-π/2
    2×1.46463583970861-π/2
    2.92927167941723-1.57079632675     		φ = 1.35847535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33836196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35847535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.834904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57158 KachelY 9414 2.33836196 1.35847535 133.978271 77.834904
    Oben rechts KachelX + 1 57159 KachelY 9414 2.33845784 1.35847535 133.983765 77.834904
    Unten links KachelX 57158 KachelY + 1 9415 2.33836196 1.35845515 133.978271 77.833747
    Unten rechts KachelX + 1 57159 KachelY + 1 9415 2.33845784 1.35845515 133.983765 77.833747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35847535-1.35845515) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35847535-1.35845515) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33836196-2.33845784) × cos(1.35847535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.210729323386287 × 6371000     		do = 128.724319069828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33836196-2.33845784) × cos(1.35845515) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.210749069741189 × 6371000     		du = 128.736381159944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35847535)-sin(1.35845515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210729323386287-0.210749069741189)×R²
    abs(2.33845784-2.33836196)×1.97463549012622e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.97463549012622e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.97463549012622e-05×40589641000000     		ar = 16566.849424395m²