Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57158 / 9051
↖ ↑ ↗
← N 78.248031°
E133.978271°		 ← 124.42 m → N 78.248031°
E133.983765°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
N 78.246912°
E133.978271°		 ← 124.43 m →
15 481 m²		 N 78.246912°
E133.983765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872169494628906 y=0.138114929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872169494628906 × 216)
    floor (0.872169494628906 × 65536)
    floor (57158.5)     		tx = 57158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138114929199219 × 216)
    floor (0.138114929199219 × 65536)
    floor (9051.5)     		ty = 9051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57158 / 9051 ti = "16/57158/9051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57158/9051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57158 ÷ 216
    57158 ÷ 65536     		x = 0.872161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9051 ÷ 216
    9051 ÷ 65536     		y = 0.138107299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872161865234375 × 2 - 1) × π
    0.74432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33836196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138107299804688 × 2 - 1) × π
    0.723785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27383889657774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33836196} λ = 2.33836196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27383889657774))-π/2
    2×atan(9.71663044736704)-π/2
    2×1.46824105483603-π/2
    2.93648210967205-1.57079632675     		φ = 1.36568578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33836196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36568578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.248031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57158 KachelY 9051 2.33836196 1.36568578 133.978271 78.248031
    Oben rechts KachelX + 1 57159 KachelY 9051 2.33845784 1.36568578 133.983765 78.248031
    Unten links KachelX 57158 KachelY + 1 9052 2.33836196 1.36566625 133.978271 78.246912
    Unten rechts KachelX + 1 57159 KachelY + 1 9052 2.33845784 1.36566625 133.983765 78.246912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36568578-1.36566625) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dl = 124.425629999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36568578-1.36566625) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dr = 124.425629999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33836196-2.33845784) × cos(1.36568578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203675390714549 × 6371000     		do = 124.415413857479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33836196-2.33845784) × cos(1.36566625) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203694511297118 × 6371000     		du = 124.42709369364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36568578)-sin(1.36566625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203675390714549-0.203694511297118)×R²
    abs(2.33845784-2.33836196)×1.9120582569282e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9120582569282e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9120582569282e-05×40589641000000     		ar = 15481.1928865218m²