Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57158 / 38358
↖ ↑ ↗
← N 59.592755°
W 23.010865°		 ← 154.59 m → N 59.592755°
W 23.008118°		 →
↑
154.56 m
↓
↑
154.56 m
↓
N 59.591365°
W 23.010865°		 ← 154.60 m →
23 894 m²		 N 59.591365°
W 23.008118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436084747314453 y=0.292652130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436084747314453 × 217)
    floor (0.436084747314453 × 131072)
    floor (57158.5)     		tx = 57158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292652130126953 × 217)
    floor (0.292652130126953 × 131072)
    floor (38358.5)     		ty = 38358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57158 / 38358 ti = "17/57158/38358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57158/38358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57158 ÷ 217
    57158 ÷ 131072     		x = 0.436080932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38358 ÷ 217
    38358 ÷ 131072     		y = 0.292648315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436080932617188 × 2 - 1) × π
    -0.127838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40161535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292648315429688 × 2 - 1) × π
    0.414703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30282905787389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40161535} λ = -0.40161535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30282905787389))-π/2
    2×atan(3.67969201783877)-π/2
    2×1.30544306071423-π/2
    2.61088612142846-1.57079632675     		φ = 1.04008979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40161535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.010865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04008979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.592755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57158 KachelY 38358 -0.40161535 1.04008979 -23.010865 59.592755
    Oben rechts KachelX + 1 57159 KachelY 38358 -0.40156741 1.04008979 -23.008118 59.592755
    Unten links KachelX 57158 KachelY + 1 38359 -0.40161535 1.04006553 -23.010865 59.591365
    Unten rechts KachelX + 1 57159 KachelY + 1 38359 -0.40156741 1.04006553 -23.008118 59.591365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04008979-1.04006553) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dl = 154.560459999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04008979-1.04006553) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dr = 154.560459999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40161535--0.40156741) × cos(1.04008979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506142819916683 × 6371000     		do = 154.589045318638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40161535--0.40156741) × cos(1.04006553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506163742796907 × 6371000     		du = 154.595435704814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04008979)-sin(1.04006553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506142819916683-0.506163742796907)×R²
    abs(-0.40156741--0.40161535)×2.09228802242611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09228802242611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09228802242611e-05×40589641000000     		ar = 23893.8478069684m²