Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57156 / 30436
↖ ↑ ↗
← N 68.938659°
W 23.016357°		 ← 109.76 m → N 68.938659°
W 23.013611°		 →
↑
109.77 m
↓
↑
109.77 m
↓
N 68.937672°
W 23.016357°		 ← 109.76 m →
12 049 m²		 N 68.937672°
W 23.013611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436069488525391 y=0.232212066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436069488525391 × 217)
    floor (0.436069488525391 × 131072)
    floor (57156.5)     		tx = 57156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232212066650391 × 217)
    floor (0.232212066650391 × 131072)
    floor (30436.5)     		ty = 30436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57156 / 30436 ti = "17/57156/30436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57156/30436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57156 ÷ 217
    57156 ÷ 131072     		x = 0.436065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30436 ÷ 217
    30436 ÷ 131072     		y = 0.232208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.12786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40171122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232208251953125 × 2 - 1) × π
    0.53558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68258517666397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40171122} λ = -0.40171122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68258517666397))-π/2
    2×atan(5.37944482604447)-π/2
    2×1.38700145451095-π/2
    2.77400290902191-1.57079632675     		φ = 1.20320658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40171122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.016357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20320658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.938659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57156 KachelY 30436 -0.40171122 1.20320658 -23.016357 68.938659
    Oben rechts KachelX + 1 57157 KachelY 30436 -0.40166328 1.20320658 -23.013611 68.938659
    Unten links KachelX 57156 KachelY + 1 30437 -0.40171122 1.20318935 -23.016357 68.937672
    Unten rechts KachelX + 1 57157 KachelY + 1 30437 -0.40166328 1.20318935 -23.013611 68.937672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20320658-1.20318935) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dl = 109.772330000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20320658-1.20318935) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dr = 109.772330000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40171122--0.40166328) × cos(1.20320658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359367238798275 × 6371000     		do = 109.760004841648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40171122--0.40166328) × cos(1.20318935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359383317715826 × 6371000     		du = 109.764915756939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20320658)-sin(1.20318935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359367238798275-0.359383317715826)×R²
    abs(-0.40166328--0.40171122)×1.60789175512321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60789175512321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60789175512321e-05×40589641000000     		ar = 12048.8810137653m²