Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57155 / 44857
↖ ↑ ↗
← N 49.280349°
W 23.019104°		 ← 199.25 m → N 49.280349°
W 23.016357°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.278556°
W 23.019104°		 ← 199.25 m →
39 708 m²		 N 49.278556°
W 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436061859130859 y=0.342235565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436061859130859 × 217)
    floor (0.436061859130859 × 131072)
    floor (57155.5)     		tx = 57155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342235565185547 × 217)
    floor (0.342235565185547 × 131072)
    floor (44857.5)     		ty = 44857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57155 / 44857 ti = "17/57155/44857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57155/44857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57155 ÷ 217
    57155 ÷ 131072     		x = 0.436058044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44857 ÷ 217
    44857 ÷ 131072     		y = 0.342231750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436058044433594 × 2 - 1) × π
    -0.127883911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40175916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342231750488281 × 2 - 1) × π
    0.315536499023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.991287147243141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40175916} λ = -0.40175916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991287147243141))-π/2
    2×atan(2.6947007176865)-π/2
    2×1.2154503317614-π/2
    2.43090066352279-1.57079632675     		φ = 0.86010434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40175916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.019104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86010434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.280349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57155 KachelY 44857 -0.40175916 0.86010434 -23.019104 49.280349
    Oben rechts KachelX + 1 57156 KachelY 44857 -0.40171122 0.86010434 -23.016357 49.280349
    Unten links KachelX 57155 KachelY + 1 44858 -0.40175916 0.86007306 -23.019104 49.278556
    Unten rechts KachelX + 1 57156 KachelY + 1 44858 -0.40171122 0.86007306 -23.016357 49.278556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86010434-0.86007306) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86010434-0.86007306) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40175916--0.40171122) × cos(0.86010434) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652358391319693 × 6371000     		do = 199.247044414127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40175916--0.40171122) × cos(0.86007306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		du = 199.254285180471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86010434)-sin(0.86007306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652358391319693-0.652382098445178)×R²
    abs(-0.40171122--0.40175916)×2.37071254844956e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37071254844956e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37071254844956e-05×40589641000000     		ar = 39707.6448273955m²