Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57154 / 8883
↖ ↑ ↗
← N 78.434519°
E133.956299°		 ← 122.46 m → N 78.434519°
E133.961792°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
N 78.433418°
E133.956299°		 ← 122.47 m →
15 003 m²		 N 78.433418°
E133.961792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872108459472656 y=0.135551452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872108459472656 × 216)
    floor (0.872108459472656 × 65536)
    floor (57154.5)     		tx = 57154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135551452636719 × 216)
    floor (0.135551452636719 × 65536)
    floor (8883.5)     		ty = 8883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57154 / 8883 ti = "16/57154/8883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57154/8883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57154 ÷ 216
    57154 ÷ 65536     		x = 0.872100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8883 ÷ 216
    8883 ÷ 65536     		y = 0.135543823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872100830078125 × 2 - 1) × π
    0.74420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33797847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135543823242188 × 2 - 1) × π
    0.728912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28994569485008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33797847} λ = 2.33797847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28994569485008))-π/2
    2×atan(9.87440143576255)-π/2
    2×1.46986846593256-π/2
    2.93973693186511-1.57079632675     		φ = 1.36894061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33797847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.956299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36894061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.434519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57154 KachelY 8883 2.33797847 1.36894061 133.956299 78.434519
    Oben rechts KachelX + 1 57155 KachelY 8883 2.33807434 1.36894061 133.961792 78.434519
    Unten links KachelX 57154 KachelY + 1 8884 2.33797847 1.36892138 133.956299 78.433418
    Unten rechts KachelX + 1 57155 KachelY + 1 8884 2.33807434 1.36892138 133.961792 78.433418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36894061-1.36892138) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36894061-1.36892138) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33797847-2.33807434) × cos(1.36894061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200487713682644 × 6371000     		do = 122.455443552618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33797847-2.33807434) × cos(1.36892138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200506553203817 × 6371000     		du = 122.466950501743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36894061)-sin(1.36892138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200487713682644-0.200506553203817)×R²
    abs(2.33807434-2.33797847)×1.88395211729864e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88395211729864e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88395211729864e-05×40589641000000     		ar = 15003.2515053286m²