Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57154 / 85185
↖ ↑ ↗
← S 47.400208°
W 23.021850°		 ← 206.69 m → S 47.400208°
W 23.019104°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 47.402067°
W 23.021850°		 ← 206.68 m →
42 730 m²		 S 47.402067°
W 23.019104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436054229736328 y=0.649913787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436054229736328 × 217)
    floor (0.436054229736328 × 131072)
    floor (57154.5)     		tx = 57154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649913787841797 × 217)
    floor (0.649913787841797 × 131072)
    floor (85185.5)     		ty = 85185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57154 / 85185 ti = "17/57154/85185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57154/85185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57154 ÷ 217
    57154 ÷ 131072     		x = 0.436050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85185 ÷ 217
    85185 ÷ 131072     		y = 0.649909973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.127899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40180709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649909973144531 × 2 - 1) × π
    -0.299819946289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.941912140634483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40180709} λ = -0.40180709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941912140634483))-π/2
    2×atan(0.389881613669345)-π/2
    2×0.371753312738619-π/2
    0.743506625477239-1.57079632675     		φ = -0.82728970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40180709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.021850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82728970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.400208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57154 KachelY 85185 -0.40180709 -0.82728970 -23.021850 -47.400208
    Oben rechts KachelX + 1 57155 KachelY 85185 -0.40175916 -0.82728970 -23.019104 -47.400208
    Unten links KachelX 57154 KachelY + 1 85186 -0.40180709 -0.82732215 -23.021850 -47.402067
    Unten rechts KachelX + 1 57155 KachelY + 1 85186 -0.40175916 -0.82732215 -23.019104 -47.402067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82728970--0.82732215) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82728970--0.82732215) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40180709--0.40175916) × cos(-0.82728970) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676873294293071 × 6371000     		do = 206.691403198007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40180709--0.40175916) × cos(-0.82732215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676849407506392 × 6371000     		du = 206.684109080336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82728970)-sin(-0.82732215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676873294293071-0.676849407506392)×R²
    abs(-0.40175916--0.40180709)×2.38867866788617e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38867866788617e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38867866788617e-05×40589641000000     		ar = 42730.4096856733m²