Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57154 / 44859
↖ ↑ ↗
← N 49.276765°
W 23.021850°		 ← 199.22 m → N 49.276765°
W 23.019104°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
N 49.274973°
W 23.021850°		 ← 199.23 m →
39 690 m²		 N 49.274973°
W 23.019104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436054229736328 y=0.342250823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436054229736328 × 217)
    floor (0.436054229736328 × 131072)
    floor (57154.5)     		tx = 57154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342250823974609 × 217)
    floor (0.342250823974609 × 131072)
    floor (44859.5)     		ty = 44859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57154 / 44859 ti = "17/57154/44859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57154/44859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57154 ÷ 217
    57154 ÷ 131072     		x = 0.436050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44859 ÷ 217
    44859 ÷ 131072     		y = 0.342247009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.127899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40180709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342247009277344 × 2 - 1) × π
    0.315505981445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.991191273443901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40180709} λ = -0.40180709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991191273443901))-π/2
    2×atan(2.69444237887504)-π/2
    2×1.21541905858638-π/2
    2.43083811717275-1.57079632675     		φ = 0.86004179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40180709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.021850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86004179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.276765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57154 KachelY 44859 -0.40180709 0.86004179 -23.021850 49.276765
    Oben rechts KachelX + 1 57155 KachelY 44859 -0.40175916 0.86004179 -23.019104 49.276765
    Unten links KachelX 57154 KachelY + 1 44860 -0.40180709 0.86001052 -23.021850 49.274973
    Unten rechts KachelX + 1 57155 KachelY + 1 44860 -0.40175916 0.86001052 -23.019104 49.274973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86004179-0.86001052) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dl = 199.221170000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86004179-0.86001052) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dr = 199.221170000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40180709--0.40175916) × cos(0.86004179) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652405797353648 × 6371000     		do = 199.21995866357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40180709--0.40175916) × cos(0.86001052) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		du = 199.227195215569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86004179)-sin(0.86001052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652405797353648-0.652429495624188)×R²
    abs(-0.40175916--0.40180709)×2.36982705397182e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36982705397182e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36982705397182e-05×40589641000000     		ar = 39689.5540927532m²