Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57153 / 30418
↖ ↑ ↗
← N 68.956418°
W 23.024597°		 ← 109.67 m → N 68.956418°
W 23.021850°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
N 68.955432°
W 23.024597°		 ← 109.68 m →
12 025 m²		 N 68.955432°
W 23.021850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436046600341797 y=0.232074737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436046600341797 × 217)
    floor (0.436046600341797 × 131072)
    floor (57153.5)     		tx = 57153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232074737548828 × 217)
    floor (0.232074737548828 × 131072)
    floor (30418.5)     		ty = 30418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57153 / 30418 ti = "17/57153/30418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57153/30418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57153 ÷ 217
    57153 ÷ 131072     		x = 0.436042785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30418 ÷ 217
    30418 ÷ 131072     		y = 0.232070922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436042785644531 × 2 - 1) × π
    -0.127914428710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40185503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232070922851562 × 2 - 1) × π
    0.535858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68344804085713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40185503} λ = -0.40185503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68344804085713))-π/2
    2×atan(5.38408855953151)-π/2
    2×1.38715643466379-π/2
    2.77431286932759-1.57079632675     		φ = 1.20351654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40185503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.024597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20351654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.956418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57153 KachelY 30418 -0.40185503 1.20351654 -23.024597 68.956418
    Oben rechts KachelX + 1 57154 KachelY 30418 -0.40180709 1.20351654 -23.021850 68.956418
    Unten links KachelX 57153 KachelY + 1 30419 -0.40185503 1.20349933 -23.024597 68.955432
    Unten rechts KachelX + 1 57154 KachelY + 1 30419 -0.40180709 1.20349933 -23.021850 68.955432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20351654-1.20349933) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dl = 109.644909999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20351654-1.20349933) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dr = 109.644909999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40185503--0.40180709) × cos(1.20351654) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.359077968038974 × 6371000     		do = 109.671654106055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40185503--0.40180709) × cos(1.20349933) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.359094030209009 × 6371000     		du = 109.676559906224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20351654)-sin(1.20349933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359077968038974-0.359094030209009)×R²
    abs(-0.40180709--0.40185503)×1.60621700345254e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60621700345254e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60621700345254e-05×40589641000000     		ar = 12025.2075922271m²