Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57152 / 8854
↖ ↑ ↗
← N 78.466414°
E133.945312°		 ← 122.12 m → N 78.466414°
E133.950805°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
N 78.465315°
E133.945312°		 ← 122.13 m →
14 916 m²		 N 78.465315°
E133.950805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872077941894531 y=0.135108947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872077941894531 × 216)
    floor (0.872077941894531 × 65536)
    floor (57152.5)     		tx = 57152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135108947753906 × 216)
    floor (0.135108947753906 × 65536)
    floor (8854.5)     		ty = 8854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57152 / 8854 ti = "16/57152/8854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57152/8854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57152 ÷ 216
    57152 ÷ 65536     		x = 0.8720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8854 ÷ 216
    8854 ÷ 65536     		y = 0.135101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8720703125 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33778672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135101318359375 × 2 - 1) × π
    0.72979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29272603502805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33778672} λ = 2.33778672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29272603502805))-π/2
    2×atan(9.9018938322046)-π/2
    2×1.47014679870179-π/2
    2.94029359740359-1.57079632675     		φ = 1.36949727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33778672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36949727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.466414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57152 KachelY 8854 2.33778672 1.36949727 133.945312 78.466414
    Oben rechts KachelX + 1 57153 KachelY 8854 2.33788259 1.36949727 133.950805 78.466414
    Unten links KachelX 57152 KachelY + 1 8855 2.33778672 1.36947810 133.945312 78.465315
    Unten rechts KachelX + 1 57153 KachelY + 1 8855 2.33788259 1.36947810 133.950805 78.465315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36949727-1.36947810) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36949727-1.36947810) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33778672-2.33788259) × cos(1.36949727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199942324952322 × 6371000     		do = 122.122326786242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33778672-2.33788259) × cos(1.36947810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199961107828582 × 6371000     		du = 122.133799137347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36949727)-sin(1.36947810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199942324952322-0.199961107828582)×R²
    abs(2.33788259-2.33778672)×1.87828762603093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87828762603093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87828762603093e-05×40589641000000     		ar = 14915.7531350832m²