Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57152 / 84288
↖ ↑ ↗
← S 45.706179°
W 23.027344°		 ← 213.29 m → S 45.706179°
W 23.024597°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
S 45.708097°
W 23.027344°		 ← 213.28 m →
45 481 m²		 S 45.708097°
W 23.024597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436038970947266 y=0.643070220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436038970947266 × 217)
    floor (0.436038970947266 × 131072)
    floor (57152.5)     		tx = 57152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643070220947266 × 217)
    floor (0.643070220947266 × 131072)
    floor (84288.5)     		ty = 84288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57152 / 84288 ti = "17/57152/84288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57152/84288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57152 ÷ 217
    57152 ÷ 131072     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84288 ÷ 217
    84288 ÷ 131072     		y = 0.64306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898912741675293))-π/2
    2×atan(0.407011946384073)-π/2
    2×0.386536504888493-π/2
    0.773073009776987-1.57079632675     		φ = -0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57152 KachelY 84288 -0.40190297 -0.79772332 -23.027344 -45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 57153 KachelY 84288 -0.40185503 -0.79772332 -23.024597 -45.706179
    Unten links KachelX 57152 KachelY + 1 84289 -0.40190297 -0.79775679 -23.027344 -45.708097
    Unten rechts KachelX + 1 57153 KachelY + 1 84289 -0.40185503 -0.79775679 -23.024597 -45.708097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79772332--0.79775679) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dl = 213.237369999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79772332--0.79775679) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dr = 213.237369999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(-0.79772332) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 213.290428700198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(-0.79775679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698314135444022 × 6371000     		du = 213.283111570558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79772332)-sin(-0.79775679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.698314135444022)×R²
    abs(-0.40185503--0.40190297)×2.39571479468959e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39571479468959e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39571479468959e-05×40589641000000     		ar = 45480.7099235712m²