Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57152 / 45316
↖ ↑ ↗
← N 48.451066°
W 23.027344°		 ← 202.58 m → N 48.451066°
W 23.024597°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
N 48.449244°
W 23.027344°		 ← 202.58 m →
41 029 m²		 N 48.449244°
W 23.024597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436038970947266 y=0.345737457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436038970947266 × 217)
    floor (0.436038970947266 × 131072)
    floor (57152.5)     		tx = 57152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345737457275391 × 217)
    floor (0.345737457275391 × 131072)
    floor (45316.5)     		ty = 45316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57152 / 45316 ti = "17/57152/45316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57152/45316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57152 ÷ 217
    57152 ÷ 131072     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45316 ÷ 217
    45316 ÷ 131072     		y = 0.345733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345733642578125 × 2 - 1) × π
    0.30853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969284110317535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969284110317535))-π/2
    2×atan(2.63605665794219)-π/2
    2×1.20821347396859-π/2
    2.41642694793718-1.57079632675     		φ = 0.84563062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84563062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57152 KachelY 45316 -0.40190297 0.84563062 -23.027344 48.451066
    Oben rechts KachelX + 1 57153 KachelY 45316 -0.40185503 0.84563062 -23.024597 48.451066
    Unten links KachelX 57152 KachelY + 1 45317 -0.40190297 0.84559883 -23.027344 48.449244
    Unten rechts KachelX + 1 57153 KachelY + 1 45317 -0.40185503 0.84559883 -23.024597 48.449244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84563062-0.84559883) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84563062-0.84559883) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(0.84563062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		do = 202.576512909287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(0.84559883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663283255966415 × 6371000     		du = 202.583779283254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84563062)-sin(0.84559883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663259464998546-0.663283255966415)×R²
    abs(-0.40185503--0.40190297)×2.37909678697523e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37909678697523e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37909678697523e-05×40589641000000     		ar = 41029.3855449764m²