Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57152 / 18251
↖ ↑ ↗
← N 78.164387°
W 23.027344°		 ← 62.64 m → N 78.164387°
W 23.024597°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.163824°
W 23.027344°		 ← 62.65 m →
3 923 m²		 N 78.163824°
W 23.024597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436038970947266 y=0.139247894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436038970947266 × 217)
    floor (0.436038970947266 × 131072)
    floor (57152.5)     		tx = 57152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139247894287109 × 217)
    floor (0.139247894287109 × 131072)
    floor (18251.5)     		ty = 18251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57152 / 18251 ti = "17/57152/18251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57152/18251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57152 ÷ 217
    57152 ÷ 131072     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18251 ÷ 217
    18251 ÷ 131072     		y = 0.139244079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139244079589844 × 2 - 1) × π
    0.721511840820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26669629853436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26669629853436))-π/2
    2×atan(9.6474757279308)-π/2
    2×1.46751112018281-π/2
    2.93502224036561-1.57079632675     		φ = 1.36422591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36422591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.164387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57152 KachelY 18251 -0.40190297 1.36422591 -23.027344 78.164387
    Oben rechts KachelX + 1 57153 KachelY 18251 -0.40185503 1.36422591 -23.024597 78.164387
    Unten links KachelX 57152 KachelY + 1 18252 -0.40190297 1.36421608 -23.027344 78.163824
    Unten rechts KachelX + 1 57153 KachelY + 1 18252 -0.40185503 1.36421608 -23.024597 78.163824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36422591-1.36421608) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36422591-1.36421608) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(1.36422591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205104442066595 × 6371000     		do = 62.6441759955085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(1.36421608) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205114063071791 × 6371000     		du = 62.6471144981399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36422591)-sin(1.36421608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205104442066595-0.205114063071791)×R²
    abs(-0.40185503--0.40190297)×9.62100519547038e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.62100519547038e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.62100519547038e-06×40589641000000     		ar = 3923.30443975389m²