Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57151 / 8867
↖ ↑ ↗
← N 78.452127°
E133.939820°		 ← 122.27 m → N 78.452127°
E133.945312°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
N 78.451027°
E133.939820°		 ← 122.28 m →
14 957 m²		 N 78.451027°
E133.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872062683105469 y=0.135307312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872062683105469 × 216)
    floor (0.872062683105469 × 65536)
    floor (57151.5)     		tx = 57151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135307312011719 × 216)
    floor (0.135307312011719 × 65536)
    floor (8867.5)     		ty = 8867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57151 / 8867 ti = "16/57151/8867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57151/8867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57151 ÷ 216
    57151 ÷ 65536     		x = 0.872055053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8867 ÷ 216
    8867 ÷ 65536     		y = 0.135299682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872055053710938 × 2 - 1) × π
    0.744110107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33769085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135299682617188 × 2 - 1) × π
    0.729400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29147967563792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33769085} λ = 2.33769085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29147967563792))-π/2
    2×atan(9.88956020151166)-π/2
    2×1.47002212259509-π/2
    2.94004424519019-1.57079632675     		φ = 1.36924792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33769085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.939820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36924792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.452127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57151 KachelY 8867 2.33769085 1.36924792 133.939820 78.452127
    Oben rechts KachelX + 1 57152 KachelY 8867 2.33778672 1.36924792 133.945312 78.452127
    Unten links KachelX 57151 KachelY + 1 8868 2.33769085 1.36922872 133.939820 78.451027
    Unten rechts KachelX + 1 57152 KachelY + 1 8868 2.33778672 1.36922872 133.945312 78.451027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36924792-1.36922872) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dl = 122.323200000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36924792-1.36922872) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dr = 122.323200000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33769085-2.33778672) × cos(1.36924792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200186633776111 × 6371000     		do = 122.271547627915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33769085-2.33778672) × cos(1.36922872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200205445088628 × 6371000     		du = 122.283037347538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36924792)-sin(1.36922872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200186633776111-0.200205445088628)×R²
    abs(2.33778672-2.33769085)×1.88113125175748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88113125175748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88113125175748e-05×40589641000000     		ar = 14957.349704951m²