Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57151 / 84959
↖ ↑ ↗
← S 46.978378°
W 23.030090°		 ← 208.34 m → S 46.978378°
W 23.027344°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 46.980253°
W 23.030090°		 ← 208.33 m →
43 416 m²		 S 46.980253°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436031341552734 y=0.648189544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436031341552734 × 217)
    floor (0.436031341552734 × 131072)
    floor (57151.5)     		tx = 57151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648189544677734 × 217)
    floor (0.648189544677734 × 131072)
    floor (84959.5)     		ty = 84959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57151 / 84959 ti = "17/57151/84959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57151/84959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57151 ÷ 217
    57151 ÷ 131072     		x = 0.436027526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84959 ÷ 217
    84959 ÷ 131072     		y = 0.648185729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436027526855469 × 2 - 1) × π
    -0.127944946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40195090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648185729980469 × 2 - 1) × π
    -0.296371459960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.931078401320351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40195090} λ = -0.40195090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931078401320351))-π/2
    2×atan(0.394128452469941)-π/2
    2×0.375434472669096-π/2
    0.750868945338192-1.57079632675     		φ = -0.81992738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40195090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.030090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81992738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.978378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57151 KachelY 84959 -0.40195090 -0.81992738 -23.030090 -46.978378
    Oben rechts KachelX + 1 57152 KachelY 84959 -0.40190297 -0.81992738 -23.027344 -46.978378
    Unten links KachelX 57151 KachelY + 1 84960 -0.40195090 -0.81996009 -23.030090 -46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 57152 KachelY + 1 84960 -0.40190297 -0.81996009 -23.027344 -46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81992738--0.81996009) × R
    3.27100000000469e-05 × 6371000     		dl = 208.395410000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81992738--0.81996009) × R
    3.27100000000469e-05 × 6371000     		dr = 208.395410000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40195090--0.40190297) × cos(-0.81992738) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682274301298819 × 6371000     		do = 208.340665661325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40195090--0.40190297) × cos(-0.81996009) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 208.333363073586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81992738)-sin(-0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682274301298819-0.682250386774346)×R²
    abs(-0.40190297--0.40195090)×2.39145244723682e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39145244723682e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39145244723682e-05×40589641000000     		ar = 43416.4775311046m²