Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57151 / 29633
↖ ↑ ↗
← N 69.717154°
W 23.030090°		 ← 105.86 m → N 69.717154°
W 23.027344°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 69.716203°
W 23.030090°		 ← 105.86 m →
11 202 m²		 N 69.716203°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436031341552734 y=0.226085662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436031341552734 × 217)
    floor (0.436031341552734 × 131072)
    floor (57151.5)     		tx = 57151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226085662841797 × 217)
    floor (0.226085662841797 × 131072)
    floor (29633.5)     		ty = 29633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57151 / 29633 ti = "17/57151/29633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57151/29633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57151 ÷ 217
    57151 ÷ 131072     		x = 0.436027526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29633 ÷ 217
    29633 ÷ 131072     		y = 0.226081848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436027526855469 × 2 - 1) × π
    -0.127944946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40195090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226081848144531 × 2 - 1) × π
    0.547836303710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.72107850705888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40195090} λ = -0.40195090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72107850705888))-π/2
    2×atan(5.59055466671207)-π/2
    2×1.3937951098746-π/2
    2.78759021974919-1.57079632675     		φ = 1.21679389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40195090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.030090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21679389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.717154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57151 KachelY 29633 -0.40195090 1.21679389 -23.030090 69.717154
    Oben rechts KachelX + 1 57152 KachelY 29633 -0.40190297 1.21679389 -23.027344 69.717154
    Unten links KachelX 57151 KachelY + 1 29634 -0.40195090 1.21677728 -23.030090 69.716203
    Unten rechts KachelX + 1 57152 KachelY + 1 29634 -0.40190297 1.21677728 -23.027344 69.716203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21679389-1.21677728) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21679389-1.21677728) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40195090--0.40190297) × cos(1.21679389) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.346654830805085 × 6371000     		do = 105.855222843889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40195090--0.40190297) × cos(1.21677728) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.3466704108171 × 6371000     		du = 105.859980387986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21679389)-sin(1.21677728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346654830805085-0.3466704108171)×R²
    abs(-0.40190297--0.40195090)×1.55800120157923e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.55800120157923e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.55800120157923e-05×40589641000000     		ar = 11202.0959342856m²