Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57150 / 81178
↖ ↑ ↗
← S 39.423464°
W 23.032837°		 ← 235.93 m → S 39.423464°
W 23.030090°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
S 39.425586°
W 23.032837°		 ← 235.93 m →
55 660 m²		 S 39.425586°
W 23.030090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436023712158203 y=0.619342803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436023712158203 × 217)
    floor (0.436023712158203 × 131072)
    floor (57150.5)     		tx = 57150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619342803955078 × 217)
    floor (0.619342803955078 × 131072)
    floor (81178.5)     		ty = 81178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57150 / 81178 ti = "17/57150/81178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57150/81178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57150 ÷ 217
    57150 ÷ 131072     		x = 0.436019897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81178 ÷ 217
    81178 ÷ 131072     		y = 0.619338989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436019897460938 × 2 - 1) × π
    -0.127960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40199884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619338989257812 × 2 - 1) × π
    -0.238677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.749828983856918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40199884} λ = -0.40199884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749828983856918))-π/2
    2×atan(0.472447341954918)-π/2
    2×0.441363537078823-π/2
    0.882727074157646-1.57079632675     		φ = -0.68806925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40199884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.032837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68806925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.423464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57150 KachelY 81178 -0.40199884 -0.68806925 -23.032837 -39.423464
    Oben rechts KachelX + 1 57151 KachelY 81178 -0.40195090 -0.68806925 -23.030090 -39.423464
    Unten links KachelX 57150 KachelY + 1 81179 -0.40199884 -0.68810628 -23.032837 -39.425586
    Unten rechts KachelX + 1 57151 KachelY + 1 81179 -0.40195090 -0.68810628 -23.030090 -39.425586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68806925--0.68810628) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dl = 235.918129999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68806925--0.68810628) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dr = 235.918129999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40199884--0.40195090) × cos(-0.68806925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772473570874819 × 6371000     		do = 235.933312015003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40199884--0.40195090) × cos(-0.68810628) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.772450054558003 × 6371000     		du = 235.926129526537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68806925)-sin(-0.68810628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772473570874819-0.772450054558003)×R²
    abs(-0.40195090--0.40199884)×2.35163168160746e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35163168160746e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35163168160746e-05×40589641000000     		ar = 55660.0985419111m²