Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57150 / 29756
↖ ↑ ↗
← N 69.599720°
W 23.032837°		 ← 106.46 m → N 69.599720°
W 23.030090°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.598762°
W 23.032837°		 ← 106.47 m →
11 334 m²		 N 69.598762°
W 23.030090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436023712158203 y=0.227024078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436023712158203 × 217)
    floor (0.436023712158203 × 131072)
    floor (57150.5)     		tx = 57150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227024078369141 × 217)
    floor (0.227024078369141 × 131072)
    floor (29756.5)     		ty = 29756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57150 / 29756 ti = "17/57150/29756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57150/29756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57150 ÷ 217
    57150 ÷ 131072     		x = 0.436019897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29756 ÷ 217
    29756 ÷ 131072     		y = 0.227020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436019897460938 × 2 - 1) × π
    -0.127960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40199884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227020263671875 × 2 - 1) × π
    0.54595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71518226840561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40199884} λ = -0.40199884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71518226840561))-π/2
    2×atan(5.55768841105446)-π/2
    2×1.39277029948003-π/2
    2.78554059896007-1.57079632675     		φ = 1.21474427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40199884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.032837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21474427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.599720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57150 KachelY 29756 -0.40199884 1.21474427 -23.032837 69.599720
    Oben rechts KachelX + 1 57151 KachelY 29756 -0.40195090 1.21474427 -23.030090 69.599720
    Unten links KachelX 57150 KachelY + 1 29757 -0.40199884 1.21472756 -23.032837 69.598762
    Unten rechts KachelX + 1 57151 KachelY + 1 29757 -0.40195090 1.21472756 -23.030090 69.598762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21474427-1.21472756) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21474427-1.21472756) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40199884--0.40195090) × cos(1.21474427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348576630053011 × 6371000     		do = 106.464275180701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40199884--0.40195090) × cos(1.21472756) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34859229195791 × 6371000     		du = 106.469058729594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21474427)-sin(1.21472756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348576630053011-0.34859229195791)×R²
    abs(-0.40195090--0.40199884)×1.56619048989892e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56619048989892e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56619048989892e-05×40589641000000     		ar = 11334.3785488704m²